Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33305 / 32233
↖ ↑ ↗
← N  2.937555°
E  2.949829°		 ← 609.99 m → N  2.937555°
E  2.955322°		 →
↑
610.02 m
↓
↑
610.02 m
↓
N  2.932069°
E  2.949829°		 ← 609.99 m →
372 106 m²		 N  2.932069°
E  2.955322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508201599121094 y=0.491844177246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508201599121094 × 216)
    floor (0.508201599121094 × 65536)
    floor (33305.5)     		tx = 33305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491844177246094 × 216)
    floor (0.491844177246094 × 65536)
    floor (32233.5)     		ty = 32233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33305 / 32233 ti = "16/33305/32233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33305/32233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33305 ÷ 216
    33305 ÷ 65536     		x = 0.508193969726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32233 ÷ 216
    32233 ÷ 65536     		y = 0.491836547851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508193969726562 × 2 - 1) × π
    0.016387939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05148423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491836547851562 × 2 - 1) × π
    0.016326904296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0512924825934601
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05148423} λ = 0.05148423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0512924825934601))-π/2
    2×atan(1.05263072442762)-π/2
    2×0.811033166555445-π/2
    1.62206633311089-1.57079632675     		φ = 0.05127001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05148423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.949829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05127001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.937555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33305 KachelY 32233 0.05148423 0.05127001 2.949829 2.937555
    Oben rechts KachelX + 1 33306 KachelY 32233 0.05158010 0.05127001 2.955322 2.937555
    Unten links KachelX 33305 KachelY + 1 32234 0.05148423 0.05117426 2.949829 2.932069
    Unten rechts KachelX + 1 33306 KachelY + 1 32234 0.05158010 0.05117426 2.955322 2.932069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05127001-0.05117426) × R
    9.57499999999986e-05 × 6371000     		dl = 610.023249999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05127001-0.05117426) × R
    9.57499999999986e-05 × 6371000     		dr = 610.023249999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05148423-0.05158010) × cos(0.05127001) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998685980912541 × 6371000     		do = 609.98518321182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05148423-0.05158010) × cos(0.05117426) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998690883287576 × 6371000     		du = 609.988177522535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05127001)-sin(0.05117426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998685980912541-0.998690883287576)×R²
    abs(0.05158010-0.05148423)×4.90237503525393e-06×R²
    9.58699999999979e-05×4.90237503525393e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.90237503525393e-06×40589641000000     		ar = 372106.057498577m²