Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33304 / 32168
↖ ↑ ↗
← N  3.294082°
E  2.944336°		 ← 609.78 m → N  3.294082°
E  2.949829°		 →
↑
609.77 m
↓
↑
609.77 m
↓
N  3.288598°
E  2.944336°		 ← 609.78 m →
371 825 m²		 N  3.288598°
E  2.949829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508186340332031 y=0.490852355957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508186340332031 × 216)
    floor (0.508186340332031 × 65536)
    floor (33304.5)     		tx = 33304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490852355957031 × 216)
    floor (0.490852355957031 × 65536)
    floor (32168.5)     		ty = 32168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33304 / 32168 ti = "16/33304/32168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33304/32168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33304 ÷ 216
    33304 ÷ 65536     		x = 0.5081787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32168 ÷ 216
    32168 ÷ 65536     		y = 0.4908447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5081787109375 × 2 - 1) × π
    0.016357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05138836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4908447265625 × 2 - 1) × π
    0.018310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0575242795440674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05138836} λ = 0.05138836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0575242795440674))-π/2
    2×atan(1.05921098750238)-π/2
    2×0.814144453754373-π/2
    1.62828890750875-1.57079632675     		φ = 0.05749258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05138836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.944336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05749258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.294082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33304 KachelY 32168 0.05138836 0.05749258 2.944336 3.294082
    Oben rechts KachelX + 1 33305 KachelY 32168 0.05148423 0.05749258 2.949829 3.294082
    Unten links KachelX 33304 KachelY + 1 32169 0.05138836 0.05739687 2.944336 3.288598
    Unten rechts KachelX + 1 33305 KachelY + 1 32169 0.05148423 0.05739687 2.949829 3.288598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05749258-0.05739687) × R
    9.57099999999989e-05 × 6371000     		dl = 609.768409999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05749258-0.05739687) × R
    9.57099999999989e-05 × 6371000     		dr = 609.768409999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05138836-0.05148423) × cos(0.05749258) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998347756807638 × 6371000     		do = 609.778600065026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05138836-0.05148423) × cos(0.05739687) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998353251818941 × 6371000     		du = 609.781956350726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05749258)-sin(0.05739687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998347756807638-0.998353251818941)×R²
    abs(0.05148423-0.05138836)×5.49501130231445e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.49501130231445e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.49501130231445e-06×40589641000000     		ar = 371824.750976011m²