Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33303 / 32149
↖ ↑ ↗
← N  3.398275°
E  2.938843°		 ← 609.78 m → N  3.398275°
E  2.944336°		 →
↑
609.77 m
↓
↑
609.77 m
↓
N  3.392791°
E  2.938843°		 ← 609.78 m →
371 824 m²		 N  3.392791°
E  2.944336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508171081542969 y=0.490562438964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508171081542969 × 216)
    floor (0.508171081542969 × 65536)
    floor (33303.5)     		tx = 33303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490562438964844 × 216)
    floor (0.490562438964844 × 65536)
    floor (32149.5)     		ty = 32149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33303 / 32149 ti = "16/33303/32149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33303/32149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33303 ÷ 216
    33303 ÷ 65536     		x = 0.508163452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32149 ÷ 216
    32149 ÷ 65536     		y = 0.490554809570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508163452148438 × 2 - 1) × π
    0.016326904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05129248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490554809570312 × 2 - 1) × π
    0.018890380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0593458817296295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05129248} λ = 0.05129248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0593458817296295))-π/2
    2×atan(1.06114220697497)-π/2
    2×0.815053701894283-π/2
    1.63010740378857-1.57079632675     		φ = 0.05931108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05129248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.938843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05931108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.398275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33303 KachelY 32149 0.05129248 0.05931108 2.938843 3.398275
    Oben rechts KachelX + 1 33304 KachelY 32149 0.05138836 0.05931108 2.944336 3.398275
    Unten links KachelX 33303 KachelY + 1 32150 0.05129248 0.05921537 2.938843 3.392791
    Unten rechts KachelX + 1 33304 KachelY + 1 32150 0.05138836 0.05921537 2.944336 3.392791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05931108-0.05921537) × R
    9.57099999999989e-05 × 6371000     		dl = 609.768409999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05931108-0.05921537) × R
    9.57099999999989e-05 × 6371000     		dr = 609.768409999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05129248-0.05138836) × cos(0.05931108) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998241613456928 × 6371000     		do = 609.77736697775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05129248-0.05138836) × cos(0.05921537) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998247282220591 × 6371000     		du = 609.780829750423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05931108)-sin(0.05921537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998241613456928-0.998247282220591)×R²
    abs(0.05138836-0.05129248)×5.66876366348001e-06×R²
    9.58799999999996e-05×5.66876366348001e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×5.66876366348001e-06×40589641000000     		ar = 371824.031544545m²