Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33303 / 32115
↖ ↑ ↗
← N  3.584695°
E  2.938843°		 ← 609.66 m → N  3.584695°
E  2.944336°		 →
↑
609.58 m
↓
↑
609.58 m
↓
N  3.579213°
E  2.938843°		 ← 609.66 m →
371 634 m²		 N  3.579213°
E  2.944336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508171081542969 y=0.490043640136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508171081542969 × 216)
    floor (0.508171081542969 × 65536)
    floor (33303.5)     		tx = 33303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490043640136719 × 216)
    floor (0.490043640136719 × 65536)
    floor (32115.5)     		ty = 32115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33303 / 32115 ti = "16/33303/32115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33303/32115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33303 ÷ 216
    33303 ÷ 65536     		x = 0.508163452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32115 ÷ 216
    32115 ÷ 65536     		y = 0.490036010742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508163452148438 × 2 - 1) × π
    0.016326904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05129248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490036010742188 × 2 - 1) × π
    0.019927978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0626055909037933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05129248} λ = 0.05129248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0626055909037933))-π/2
    2×atan(1.06460686578433)-π/2
    2×0.816680530520668-π/2
    1.63336106104134-1.57079632675     		φ = 0.06256473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05129248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.938843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.06256473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.584695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33303 KachelY 32115 0.05129248 0.06256473 2.938843 3.584695
    Oben rechts KachelX + 1 33304 KachelY 32115 0.05138836 0.06256473 2.944336 3.584695
    Unten links KachelX 33303 KachelY + 1 32116 0.05129248 0.06246905 2.938843 3.579213
    Unten rechts KachelX + 1 33304 KachelY + 1 32116 0.05138836 0.06246905 2.944336 3.579213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.06256473-0.06246905) × R
    9.56800000000008e-05 × 6371000     		dl = 609.577280000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.06256473-0.06246905) × R
    9.56800000000008e-05 × 6371000     		dr = 609.577280000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05129248-0.05138836) × cos(0.06256473) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998043465617562 × 6371000     		do = 609.656328076814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05129248-0.05138836) × cos(0.06246905) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.99804944333797 × 6371000     		du = 609.659979576172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.06256473)-sin(0.06246905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998043465617562-0.99804944333797)×R²
    abs(0.05138836-0.05129248)×5.97772040789035e-06×R²
    9.58799999999996e-05×5.97772040789035e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×5.97772040789035e-06×40589641000000     		ar = 371633.759422898m²