Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33302 / 32157
↖ ↑ ↗
← N  3.354405°
E  2.933350°		 ← 609.74 m → N  3.354405°
E  2.938843°		 →
↑
609.77 m
↓
↑
609.77 m
↓
N  3.348922°
E  2.933350°		 ← 609.74 m →
371 802 m²		 N  3.348922°
E  2.938843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508155822753906 y=0.490684509277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508155822753906 × 216)
    floor (0.508155822753906 × 65536)
    floor (33302.5)     		tx = 33302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490684509277344 × 216)
    floor (0.490684509277344 × 65536)
    floor (32157.5)     		ty = 32157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33302 / 32157 ti = "16/33302/32157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33302/32157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33302 ÷ 216
    33302 ÷ 65536     		x = 0.508148193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32157 ÷ 216
    32157 ÷ 65536     		y = 0.490676879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508148193359375 × 2 - 1) × π
    0.01629638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05119661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490676879882812 × 2 - 1) × π
    0.018646240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0585788913357086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05119661} λ = 0.05119661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0585788913357086))-π/2
    2×atan(1.06032863313718)-π/2
    2×0.814670872364967-π/2
    1.62934174472993-1.57079632675     		φ = 0.05854542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05119661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.933350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05854542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.354405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33302 KachelY 32157 0.05119661 0.05854542 2.933350 3.354405
    Oben rechts KachelX + 1 33303 KachelY 32157 0.05129248 0.05854542 2.938843 3.354405
    Unten links KachelX 33302 KachelY + 1 32158 0.05119661 0.05844971 2.933350 3.348922
    Unten rechts KachelX + 1 33303 KachelY + 1 32158 0.05129248 0.05844971 2.938843 3.348922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05854542-0.05844971) × R
    9.57099999999989e-05 × 6371000     		dl = 609.768409999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05854542-0.05844971) × R
    9.57099999999989e-05 × 6371000     		dr = 609.768409999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05119661-0.05129248) × cos(0.05854542) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998286706351341 × 6371000     		do = 609.741311193011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05119661-0.05129248) × cos(0.05844971) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.99829230196068 × 6371000     		du = 609.744728922761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05854542)-sin(0.05844971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998286706351341-0.99829230196068)×R²
    abs(0.05129248-0.05119661)×5.59560933943715e-06×R²
    9.58700000000048e-05×5.59560933943715e-06×6371000²
    9.58700000000048e-05×5.59560933943715e-06×40589641000000     		ar = 371802.032133108m²