Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33299 / 33339
↖ ↑ ↗
← S  3.135031°
E  2.916870°		 ← 609.87 m → S  3.135031°
E  2.922363°		 →
↑
609.90 m
↓
↑
609.90 m
↓
S  3.140516°
E  2.916870°		 ← 609.87 m →
371 958 m²		 S  3.140516°
E  2.922363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508110046386719 y=0.508720397949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508110046386719 × 216)
    floor (0.508110046386719 × 65536)
    floor (33299.5)     		tx = 33299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508720397949219 × 216)
    floor (0.508720397949219 × 65536)
    floor (33339.5)     		ty = 33339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33299 / 33339 ti = "16/33299/33339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33299/33339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33299 ÷ 216
    33299 ÷ 65536     		x = 0.508102416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33339 ÷ 216
    33339 ÷ 65536     		y = 0.508712768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508102416992188 × 2 - 1) × π
    0.016204833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05090899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508712768554688 × 2 - 1) × π
    -0.017425537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0547439393661041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05090899} λ = 0.05090899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0547439393661041))-π/2
    2×atan(0.946727536572209)-π/2
    2×0.758039855317653-π/2
    1.51607971063531-1.57079632675     		φ = -0.05471662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05090899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.916870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05471662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.135031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33299 KachelY 33339 0.05090899 -0.05471662 2.916870 -3.135031
    Oben rechts KachelX + 1 33300 KachelY 33339 0.05100486 -0.05471662 2.922363 -3.135031
    Unten links KachelX 33299 KachelY + 1 33340 0.05090899 -0.05481235 2.916870 -3.140516
    Unten rechts KachelX + 1 33300 KachelY + 1 33340 0.05100486 -0.05481235 2.922363 -3.140516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05471662--0.05481235) × R
    9.57300000000022e-05 × 6371000     		dl = 609.895830000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05471662--0.05481235) × R
    9.57300000000022e-05 × 6371000     		dr = 609.895830000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05090899-0.05100486) × cos(-0.05471662) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99850341918929 × 6371000     		do = 609.873676743988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05090899-0.05100486) × cos(-0.05481235) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998498179205308 × 6371000     		du = 609.870476225857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05471662)-sin(-0.05481235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99850341918929-0.998498179205308)×R²
    abs(0.05100486-0.05090899)×5.23998398160863e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.23998398160863e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.23998398160863e-06×40589641000000     		ar = 371958.43656567m²