Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33298 / 32183
↖ ↑ ↗
← N  3.211817°
E  2.911377°		 ← 609.89 m → N  3.211817°
E  2.916870°		 →
↑
609.83 m
↓
↑
609.83 m
↓
N  3.206333°
E  2.911377°		 ← 609.90 m →
371 933 m²		 N  3.206333°
E  2.916870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508094787597656 y=0.491081237792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508094787597656 × 216)
    floor (0.508094787597656 × 65536)
    floor (33298.5)     		tx = 33298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491081237792969 × 216)
    floor (0.491081237792969 × 65536)
    floor (32183.5)     		ty = 32183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33298 / 32183 ti = "16/33298/32183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33298/32183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33298 ÷ 216
    33298 ÷ 65536     		x = 0.508087158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32183 ÷ 216
    32183 ÷ 65536     		y = 0.491073608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508087158203125 × 2 - 1) × π
    0.01617431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05081311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491073608398438 × 2 - 1) × π
    0.017852783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0560861725554657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05081311} λ = 0.05081311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0560861725554657))-π/2
    2×atan(1.05768882355849)-π/2
    2×0.813426558896792-π/2
    1.62685311779358-1.57079632675     		φ = 0.05605679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05081311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.911377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05605679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.211817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33298 KachelY 32183 0.05081311 0.05605679 2.911377 3.211817
    Oben rechts KachelX + 1 33299 KachelY 32183 0.05090899 0.05605679 2.916870 3.211817
    Unten links KachelX 33298 KachelY + 1 32184 0.05081311 0.05596107 2.911377 3.206333
    Unten rechts KachelX + 1 33299 KachelY + 1 32184 0.05090899 0.05596107 2.916870 3.206333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05605679-0.05596107) × R
    9.57200000000005e-05 × 6371000     		dl = 609.832120000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05605679-0.05596107) × R
    9.57200000000005e-05 × 6371000     		dr = 609.832120000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05081311-0.05090899) × cos(0.05605679) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998429229539757 × 6371000     		do = 609.891972539617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05081311-0.05090899) × cos(0.05596107) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998434587911973 × 6371000     		du = 609.895245709216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05605679)-sin(0.05596107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998429229539757-0.998434587911973)×R²
    abs(0.05090899-0.05081311)×5.35837221604663e-06×R²
    9.58799999999996e-05×5.35837221604663e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×5.35837221604663e-06×40589641000000     		ar = 371932.712910784m²