Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33298 / 32158
↖ ↑ ↗
← N  3.348922°
E  2.911377°		 ← 609.81 m → N  3.348922°
E  2.916870°		 →
↑
609.77 m
↓
↑
609.77 m
↓
N  3.343438°
E  2.911377°		 ← 609.81 m →
371 843 m²		 N  3.343438°
E  2.916870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508094787597656 y=0.490699768066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508094787597656 × 216)
    floor (0.508094787597656 × 65536)
    floor (33298.5)     		tx = 33298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490699768066406 × 216)
    floor (0.490699768066406 × 65536)
    floor (32158.5)     		ty = 32158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33298 / 32158 ti = "16/33298/32158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33298/32158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33298 ÷ 216
    33298 ÷ 65536     		x = 0.508087158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32158 ÷ 216
    32158 ÷ 65536     		y = 0.490692138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508087158203125 × 2 - 1) × π
    0.01617431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05081311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490692138671875 × 2 - 1) × π
    0.01861572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0584830175364685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05081311} λ = 0.05081311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0584830175364685))-π/2
    2×atan(1.06022698027568)-π/2
    2×0.814623017461173-π/2
    1.62924603492235-1.57079632675     		φ = 0.05844971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05081311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.911377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05844971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.348922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33298 KachelY 32158 0.05081311 0.05844971 2.911377 3.348922
    Oben rechts KachelX + 1 33299 KachelY 32158 0.05090899 0.05844971 2.916870 3.348922
    Unten links KachelX 33298 KachelY + 1 32159 0.05081311 0.05835400 2.911377 3.343438
    Unten rechts KachelX + 1 33299 KachelY + 1 32159 0.05090899 0.05835400 2.916870 3.343438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05844971-0.05835400) × R
    9.57099999999989e-05 × 6371000     		dl = 609.768409999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05844971-0.05835400) × R
    9.57099999999989e-05 × 6371000     		dr = 609.768409999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05081311-0.05090899) × cos(0.05844971) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.99829230196068 × 6371000     		do = 609.808330125286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05081311-0.05090899) × cos(0.05835400) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998297888425259 × 6371000     		du = 609.811742625442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05844971)-sin(0.05835400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99829230196068-0.998297888425259)×R²
    abs(0.05090899-0.05081311)×5.58646457859968e-06×R²
    9.58799999999996e-05×5.58646457859968e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×5.58646457859968e-06×40589641000000     		ar = 371842.896566477m²