Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33297 / 33338
↖ ↑ ↗
← S  3.129546°
E  2.905884°		 ← 609.88 m → S  3.129546°
E  2.911377°		 →
↑
609.90 m
↓
↑
609.90 m
↓
S  3.135031°
E  2.905884°		 ← 609.87 m →
371 960 m²		 S  3.135031°
E  2.911377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508079528808594 y=0.508705139160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508079528808594 × 216)
    floor (0.508079528808594 × 65536)
    floor (33297.5)     		tx = 33297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508705139160156 × 216)
    floor (0.508705139160156 × 65536)
    floor (33338.5)     		ty = 33338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33297 / 33338 ti = "16/33297/33338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33297/33338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33297 ÷ 216
    33297 ÷ 65536     		x = 0.508071899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33338 ÷ 216
    33338 ÷ 65536     		y = 0.508697509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508071899414062 × 2 - 1) × π
    0.016143798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05071724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508697509765625 × 2 - 1) × π
    -0.01739501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.054648065566864
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05071724} λ = 0.05071724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.054648065566864))-π/2
    2×atan(0.946818307289183)-π/2
    2×0.758087720601251-π/2
    1.5161754412025-1.57079632675     		φ = -0.05462089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05071724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.905884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05462089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.129546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33297 KachelY 33338 0.05071724 -0.05462089 2.905884 -3.129546
    Oben rechts KachelX + 1 33298 KachelY 33338 0.05081311 -0.05462089 2.911377 -3.129546
    Unten links KachelX 33297 KachelY + 1 33339 0.05071724 -0.05471662 2.905884 -3.135031
    Unten rechts KachelX + 1 33298 KachelY + 1 33339 0.05081311 -0.05471662 2.911377 -3.135031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05462089--0.05471662) × R
    9.57300000000022e-05 × 6371000     		dl = 609.895830000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05462089--0.05471662) × R
    9.57300000000022e-05 × 6371000     		dr = 609.895830000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05071724-0.05081311) × cos(-0.05462089) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998508650022754 × 6371000     		do = 609.876871673139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05071724-0.05081311) × cos(-0.05471662) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.99850341918929 × 6371000     		du = 609.873676744032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05462089)-sin(-0.05471662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998508650022754-0.99850341918929)×R²
    abs(0.05081311-0.05071724)×5.23083346382069e-06×R²
    9.58700000000048e-05×5.23083346382069e-06×6371000²
    9.58700000000048e-05×5.23083346382069e-06×40589641000000     		ar = 371960.386843995m²