Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33297 / 32270
↖ ↑ ↗
← N  2.734557°
E  2.905884°		 ← 610.09 m → N  2.734557°
E  2.911377°		 →
↑
610.09 m
↓
↑
610.09 m
↓
N  2.729070°
E  2.905884°		 ← 610.10 m →
372 210 m²		 N  2.729070°
E  2.911377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508079528808594 y=0.492408752441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508079528808594 × 216)
    floor (0.508079528808594 × 65536)
    floor (33297.5)     		tx = 33297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492408752441406 × 216)
    floor (0.492408752441406 × 65536)
    floor (32270.5)     		ty = 32270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33297 / 32270 ti = "16/33297/32270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33297/32270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33297 ÷ 216
    33297 ÷ 65536     		x = 0.508071899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32270 ÷ 216
    32270 ÷ 65536     		y = 0.492401123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508071899414062 × 2 - 1) × π
    0.016143798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05071724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492401123046875 × 2 - 1) × π
    0.01519775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0477451520215759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05071724} λ = 0.05071724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0477451520215759))-π/2
    2×atan(1.04890331037155)-π/2
    2×0.809261674588245-π/2
    1.61852334917649-1.57079632675     		φ = 0.04772702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05071724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.905884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04772702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.734557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33297 KachelY 32270 0.05071724 0.04772702 2.905884 2.734557
    Oben rechts KachelX + 1 33298 KachelY 32270 0.05081311 0.04772702 2.911377 2.734557
    Unten links KachelX 33297 KachelY + 1 32271 0.05071724 0.04763126 2.905884 2.729070
    Unten rechts KachelX + 1 33298 KachelY + 1 32271 0.05081311 0.04763126 2.911377 2.729070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04772702-0.04763126) × R
    9.57600000000003e-05 × 6371000     		dl = 610.086960000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04772702-0.04763126) × R
    9.57600000000003e-05 × 6371000     		dr = 610.086960000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05071724-0.05081311) × cos(0.04772702) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998861281959738 × 6371000     		do = 610.09225494756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05071724-0.05081311) × cos(0.04763126) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.99886584598449 × 6371000     		du = 610.095042598061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04772702)-sin(0.04763126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998861281959738-0.99886584598449)×R²
    abs(0.05081311-0.05071724)×4.56402475268458e-06×R²
    9.58700000000048e-05×4.56402475268458e-06×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.56402475268458e-06×40589641000000     		ar = 372210.179779543m²