Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33297 / 32113
↖ ↑ ↗
← N  3.595660°
E  2.905884°		 ← 609.59 m → N  3.595660°
E  2.911377°		 →
↑
609.64 m
↓
↑
609.64 m
↓
N  3.590178°
E  2.905884°		 ← 609.59 m →
371 629 m²		 N  3.590178°
E  2.911377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508079528808594 y=0.490013122558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508079528808594 × 216)
    floor (0.508079528808594 × 65536)
    floor (33297.5)     		tx = 33297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490013122558594 × 216)
    floor (0.490013122558594 × 65536)
    floor (32113.5)     		ty = 32113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33297 / 32113 ti = "16/33297/32113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33297/32113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33297 ÷ 216
    33297 ÷ 65536     		x = 0.508071899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32113 ÷ 216
    32113 ÷ 65536     		y = 0.490005493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508071899414062 × 2 - 1) × π
    0.016143798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05071724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490005493164062 × 2 - 1) × π
    0.019989013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0627973385022736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05071724} λ = 0.05071724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0627973385022736))-π/2
    2×atan(1.06481102116669)-π/2
    2×0.816776216165334-π/2
    1.63355243233067-1.57079632675     		φ = 0.06275611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05071724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.905884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.06275611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.595660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33297 KachelY 32113 0.05071724 0.06275611 2.905884 3.595660
    Oben rechts KachelX + 1 33298 KachelY 32113 0.05081311 0.06275611 2.911377 3.595660
    Unten links KachelX 33297 KachelY + 1 32114 0.05071724 0.06266042 2.905884 3.590178
    Unten rechts KachelX + 1 33298 KachelY + 1 32114 0.05081311 0.06266042 2.911377 3.590178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.06275611-0.06266042) × R
    9.56900000000094e-05 × 6371000     		dl = 609.64099000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.06275611-0.06266042) × R
    9.56900000000094e-05 × 6371000     		dr = 609.64099000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05071724-0.05081311) × cos(0.06275611) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.99803148151225 × 6371000     		do = 609.585422982694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05071724-0.05081311) × cos(0.06266042) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998037478134209 × 6371000     		du = 609.589085646048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.06275611)-sin(0.06266042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99803148151225-0.998037478134209)×R²
    abs(0.05081311-0.05071724)×5.99662195921447e-06×R²
    9.58700000000048e-05×5.99662195921447e-06×6371000²
    9.58700000000048e-05×5.99662195921447e-06×40589641000000     		ar = 371629.377495211m²