Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33296 / 32271
↖ ↑ ↗
← N  2.729070°
E  2.900391°		 ← 610.10 m → N  2.729070°
E  2.905884°		 →
↑
610.15 m
↓
↑
610.15 m
↓
N  2.723583°
E  2.900391°		 ← 610.10 m →
372 251 m²		 N  2.723583°
E  2.905884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508064270019531 y=0.492424011230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508064270019531 × 216)
    floor (0.508064270019531 × 65536)
    floor (33296.5)     		tx = 33296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492424011230469 × 216)
    floor (0.492424011230469 × 65536)
    floor (32271.5)     		ty = 32271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33296 / 32271 ti = "16/33296/32271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33296/32271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33296 ÷ 216
    33296 ÷ 65536     		x = 0.508056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32271 ÷ 216
    32271 ÷ 65536     		y = 0.492416381835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508056640625 × 2 - 1) × π
    0.01611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05062137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492416381835938 × 2 - 1) × π
    0.015167236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0476492782223358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05062137} λ = 0.05062137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0476492782223358))-π/2
    2×atan(1.04880275284664)-π/2
    2×0.809213792165808-π/2
    1.61842758433162-1.57079632675     		φ = 0.04763126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05062137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04763126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.729070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33296 KachelY 32271 0.05062137 0.04763126 2.900391 2.729070
    Oben rechts KachelX + 1 33297 KachelY 32271 0.05071724 0.04763126 2.905884 2.729070
    Unten links KachelX 33296 KachelY + 1 32272 0.05062137 0.04753549 2.900391 2.723583
    Unten rechts KachelX + 1 33297 KachelY + 1 32272 0.05071724 0.04753549 2.905884 2.723583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04763126-0.04753549) × R
    9.5770000000002e-05 × 6371000     		dl = 610.150670000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04763126-0.04753549) × R
    9.5770000000002e-05 × 6371000     		dr = 610.150670000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05062137-0.05071724) × cos(0.04763126) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99886584598449 × 6371000     		do = 610.095042598017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05062137-0.05071724) × cos(0.04753549) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998870401324842 × 6371000     		du = 610.097824944192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04763126)-sin(0.04753549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99886584598449-0.998870401324842)×R²
    abs(0.05071724-0.05062137)×4.55534035126437e-06×R²
    9.58699999999979e-05×4.55534035126437e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.55534035126437e-06×40589641000000     		ar = 372250.748114585m²