Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33296 / 31987
↖ ↑ ↗
← N  4.286158°
E  2.900391°		 ← 609.08 m → N  4.286158°
E  2.905884°		 →
↑
609.13 m
↓
↑
609.13 m
↓
N  4.280680°
E  2.900391°		 ← 609.08 m →
371 011 m²		 N  4.280680°
E  2.905884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508064270019531 y=0.488090515136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508064270019531 × 216)
    floor (0.508064270019531 × 65536)
    floor (33296.5)     		tx = 33296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.488090515136719 × 216)
    floor (0.488090515136719 × 65536)
    floor (31987.5)     		ty = 31987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33296 / 31987 ti = "16/33296/31987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33296/31987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33296 ÷ 216
    33296 ÷ 65536     		x = 0.508056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31987 ÷ 216
    31987 ÷ 65536     		y = 0.488082885742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508056640625 × 2 - 1) × π
    0.01611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05062137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.488082885742188 × 2 - 1) × π
    0.023834228515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0748774372065277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05062137} λ = 0.05062137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0748774372065277))-π/2
    2×atan(1.07775205048752)-π/2
    2×0.82280194677926-π/2
    1.64560389355852-1.57079632675     		φ = 0.07480757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05062137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.07480757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.286158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33296 KachelY 31987 0.05062137 0.07480757 2.900391 4.286158
    Oben rechts KachelX + 1 33297 KachelY 31987 0.05071724 0.07480757 2.905884 4.286158
    Unten links KachelX 33296 KachelY + 1 31988 0.05062137 0.07471196 2.900391 4.280680
    Unten rechts KachelX + 1 33297 KachelY + 1 31988 0.05071724 0.07471196 2.905884 4.280680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.07480757-0.07471196) × R
    9.56100000000099e-05 × 6371000     		dl = 609.131310000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.07480757-0.07471196) × R
    9.56100000000099e-05 × 6371000     		dr = 609.131310000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05062137-0.05071724) × cos(0.07480757) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.997203218373085 × 6371000     		do = 609.079529986906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05062137-0.05071724) × cos(0.07471196) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.997210359497889 × 6371000     		du = 609.083891698601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.07480757)-sin(0.07471196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997203218373085-0.997210359497889)×R²
    abs(0.05071724-0.05062137)×7.14112480448836e-06×R²
    9.58699999999979e-05×7.14112480448836e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×7.14112480448836e-06×40589641000000     		ar = 371010.740705335m²