Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33295 / 32273
↖ ↑ ↗
← N  2.718096°
E  2.894897°		 ← 610.16 m → N  2.718096°
E  2.900391°		 →
↑
610.15 m
↓
↑
610.15 m
↓
N  2.712609°
E  2.894897°		 ← 610.17 m →
372 293 m²		 N  2.712609°
E  2.900391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508049011230469 y=0.492454528808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508049011230469 × 216)
    floor (0.508049011230469 × 65536)
    floor (33295.5)     		tx = 33295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492454528808594 × 216)
    floor (0.492454528808594 × 65536)
    floor (32273.5)     		ty = 32273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33295 / 32273 ti = "16/33295/32273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33295/32273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33295 ÷ 216
    33295 ÷ 65536     		x = 0.508041381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32273 ÷ 216
    32273 ÷ 65536     		y = 0.492446899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508041381835938 × 2 - 1) × π
    0.016082763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05052549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492446899414062 × 2 - 1) × π
    0.015106201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0474575306238556
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05052549} λ = 0.05052549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0474575306238556))-π/2
    2×atan(1.04860166671701)-π/2
    2×0.809118026665641-π/2
    1.61823605333128-1.57079632675     		φ = 0.04743973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05052549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.894897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04743973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.718096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33295 KachelY 32273 0.05052549 0.04743973 2.894897 2.718096
    Oben rechts KachelX + 1 33296 KachelY 32273 0.05062137 0.04743973 2.900391 2.718096
    Unten links KachelX 33295 KachelY + 1 32274 0.05052549 0.04734396 2.894897 2.712609
    Unten rechts KachelX + 1 33296 KachelY + 1 32274 0.05062137 0.04734396 2.900391 2.712609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04743973-0.04734396) × R
    9.5770000000002e-05 × 6371000     		dl = 610.150670000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04743973-0.04734396) × R
    9.5770000000002e-05 × 6371000     		dr = 610.150670000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05052549-0.05062137) × cos(0.04743973) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998874947029441 × 6371000     		do = 610.164239727853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05052549-0.05062137) × cos(0.04734396) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998879484047643 × 6371000     		du = 610.167011172136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04743973)-sin(0.04734396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998874947029441-0.998879484047643)×R²
    abs(0.05062137-0.05052549)×4.53701820157804e-06×R²
    9.58799999999996e-05×4.53701820157804e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.53701820157804e-06×40589641000000     		ar = 372292.965463843m²