Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33292 / 32004
↖ ↑ ↗
← N  4.193029°
E  2.878418°		 ← 609.15 m → N  4.193029°
E  2.883911°		 →
↑
609.20 m
↓
↑
609.20 m
↓
N  4.187551°
E  2.878418°		 ← 609.16 m →
371 094 m²		 N  4.187551°
E  2.883911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508003234863281 y=0.488349914550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508003234863281 × 216)
    floor (0.508003234863281 × 65536)
    floor (33292.5)     		tx = 33292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.488349914550781 × 216)
    floor (0.488349914550781 × 65536)
    floor (32004.5)     		ty = 32004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33292 / 32004 ti = "16/33292/32004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33292/32004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33292 ÷ 216
    33292 ÷ 65536     		x = 0.50799560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32004 ÷ 216
    32004 ÷ 65536     		y = 0.48834228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50799560546875 × 2 - 1) × π
    0.0159912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05023787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48834228515625 × 2 - 1) × π
    0.0233154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0732475826194458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05023787} λ = 0.05023787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0732475826194458))-π/2
    2×atan(1.07599690207118)-π/2
    2×0.821989249519976-π/2
    1.64397849903995-1.57079632675     		φ = 0.07318217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05023787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.878418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.07318217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.193029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33292 KachelY 32004 0.05023787 0.07318217 2.878418 4.193029
    Oben rechts KachelX + 1 33293 KachelY 32004 0.05033374 0.07318217 2.883911 4.193029
    Unten links KachelX 33292 KachelY + 1 32005 0.05023787 0.07308655 2.878418 4.187551
    Unten rechts KachelX + 1 33293 KachelY + 1 32005 0.05033374 0.07308655 2.883911 4.187551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.07318217-0.07308655) × R
    9.56200000000046e-05 × 6371000     		dl = 609.195020000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.07318217-0.07308655) × R
    9.56200000000046e-05 × 6371000     		dr = 609.195020000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05023787-0.05033374) × cos(0.07318217) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.997323379899244 × 6371000     		do = 609.152923177553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05023787-0.05033374) × cos(0.07308655) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.997330366774482 × 6371000     		du = 609.157190675499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.07318217)-sin(0.07308655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997323379899244-0.997330366774482)×R²
    abs(0.05033374-0.05023787)×6.98687523803532e-06×R²
    9.58700000000048e-05×6.98687523803532e-06×6371000²
    9.58700000000048e-05×6.98687523803532e-06×40589641000000     		ar = 371094.227370232m²