Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33291 / 33341
↖ ↑ ↗
← S  3.146001°
E  2.872925°		 ← 609.87 m → S  3.146001°
E  2.878418°		 →
↑
609.83 m
↓
↑
609.83 m
↓
S  3.151486°
E  2.872925°		 ← 609.86 m →
371 916 m²		 S  3.151486°
E  2.878418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507987976074219 y=0.508750915527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507987976074219 × 216)
    floor (0.507987976074219 × 65536)
    floor (33291.5)     		tx = 33291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508750915527344 × 216)
    floor (0.508750915527344 × 65536)
    floor (33341.5)     		ty = 33341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33291 / 33341 ti = "16/33291/33341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33291/33341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33291 ÷ 216
    33291 ÷ 65536     		x = 0.507980346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33341 ÷ 216
    33341 ÷ 65536     		y = 0.508743286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507980346679688 × 2 - 1) × π
    0.015960693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05014200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508743286132812 × 2 - 1) × π
    -0.017486572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0549356869645844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05014200} λ = 0.05014200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0549356869645844))-π/2
    2×atan(0.946546021243777)-π/2
    2×0.757944125503804-π/2
    1.51588825100761-1.57079632675     		φ = -0.05490808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05014200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.872925°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05490808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.146001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33291 KachelY 33341 0.05014200 -0.05490808 2.872925 -3.146001
    Oben rechts KachelX + 1 33292 KachelY 33341 0.05023787 -0.05490808 2.878418 -3.146001
    Unten links KachelX 33291 KachelY + 1 33342 0.05014200 -0.05500380 2.872925 -3.151486
    Unten rechts KachelX + 1 33292 KachelY + 1 33342 0.05023787 -0.05500380 2.878418 -3.151486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05490808--0.05500380) × R
    9.57200000000005e-05 × 6371000     		dl = 609.832120000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05490808--0.05500380) × R
    9.57200000000005e-05 × 6371000     		dr = 609.832120000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05014200-0.05023787) × cos(-0.05490808) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998492930070857 × 6371000     		do = 609.867270118731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05014200-0.05023787) × cos(-0.05500380) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998487672335744 × 6371000     		du = 609.864058758427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05490808)-sin(-0.05500380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998492930070857-0.998487672335744)×R²
    abs(0.05023787-0.05014200)×5.25773511250716e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.25773511250716e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.25773511250716e-06×40589641000000     		ar = 371915.671343738m²