Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33290 / 33342
↖ ↑ ↗
← S  3.151486°
E  2.867431°		 ← 609.93 m → S  3.151486°
E  2.872925°		 →
↑
609.90 m
↓
↑
609.90 m
↓
S  3.156971°
E  2.867431°		 ← 609.92 m →
371 991 m²		 S  3.156971°
E  2.872925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507972717285156 y=0.508766174316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507972717285156 × 216)
    floor (0.507972717285156 × 65536)
    floor (33290.5)     		tx = 33290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508766174316406 × 216)
    floor (0.508766174316406 × 65536)
    floor (33342.5)     		ty = 33342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33290 / 33342 ti = "16/33290/33342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33290/33342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33290 ÷ 216
    33290 ÷ 65536     		x = 0.507965087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33342 ÷ 216
    33342 ÷ 65536     		y = 0.508758544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507965087890625 × 2 - 1) × π
    0.01593017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05004612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508758544921875 × 2 - 1) × π
    -0.01751708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0550315607638245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05004612} λ = 0.05004612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0550315607638245))-π/2
    2×atan(0.946455276630649)-π/2
    2×0.757896260974428-π/2
    1.51579252194886-1.57079632675     		φ = -0.05500380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05004612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.867431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05500380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.151486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33290 KachelY 33342 0.05004612 -0.05500380 2.867431 -3.151486
    Oben rechts KachelX + 1 33291 KachelY 33342 0.05014200 -0.05500380 2.872925 -3.151486
    Unten links KachelX 33290 KachelY + 1 33343 0.05004612 -0.05509953 2.867431 -3.156971
    Unten rechts KachelX + 1 33291 KachelY + 1 33343 0.05014200 -0.05509953 2.872925 -3.156971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05500380--0.05509953) × R
    9.57300000000022e-05 × 6371000     		dl = 609.895830000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05500380--0.05509953) × R
    9.57300000000022e-05 × 6371000     		dr = 609.895830000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05004612-0.05014200) × cos(-0.05500380) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998487672335744 × 6371000     		do = 609.927672408042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05004612-0.05014200) × cos(-0.05509953) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998482404901453 × 6371000     		du = 609.924454788009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05500380)-sin(-0.05509953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998487672335744-0.998482404901453)×R²
    abs(0.05014200-0.05004612)×5.26743429096754e-06×R²
    9.58799999999996e-05×5.26743429096754e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×5.26743429096754e-06×40589641000000     		ar = 371991.36308085m²