Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33289 / 32263
↖ ↑ ↗
← N  2.772964°
E  2.861939°		 ← 610.07 m → N  2.772964°
E  2.867431°		 →
↑
610.09 m
↓
↑
610.09 m
↓
N  2.767478°
E  2.861939°		 ← 610.08 m →
372 198 m²		 N  2.767478°
E  2.867431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507957458496094 y=0.492301940917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507957458496094 × 216)
    floor (0.507957458496094 × 65536)
    floor (33289.5)     		tx = 33289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492301940917969 × 216)
    floor (0.492301940917969 × 65536)
    floor (32263.5)     		ty = 32263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33289 / 32263 ti = "16/33289/32263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33289/32263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33289 ÷ 216
    33289 ÷ 65536     		x = 0.507949829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32263 ÷ 216
    32263 ÷ 65536     		y = 0.492294311523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507949829101562 × 2 - 1) × π
    0.015899658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.04995025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492294311523438 × 2 - 1) × π
    0.015411376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0484162686162567
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04995025} λ = 0.04995025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0484162686162567))-π/2
    2×atan(1.04960748305391)-π/2
    2×0.80959684538834-π/2
    1.61919369077668-1.57079632675     		φ = 0.04839736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04995025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.861939°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04839736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.772964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33289 KachelY 32263 0.04995025 0.04839736 2.861939 2.772964
    Oben rechts KachelX + 1 33290 KachelY 32263 0.05004612 0.04839736 2.867431 2.772964
    Unten links KachelX 33289 KachelY + 1 32264 0.04995025 0.04830160 2.861939 2.767478
    Unten rechts KachelX + 1 33290 KachelY + 1 32264 0.05004612 0.04830160 2.867431 2.767478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04839736-0.04830160) × R
    9.57600000000003e-05 × 6371000     		dl = 610.086960000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04839736-0.04830160) × R
    9.57600000000003e-05 × 6371000     		dr = 610.086960000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04995025-0.05004612) × cos(0.04839736) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998829076354258 × 6371000     		do = 610.072584157563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04995025-0.05004612) × cos(0.04830160) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998833704496789 × 6371000     		du = 610.075410970419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04839736)-sin(0.04830160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998829076354258-0.998833704496789)×R²
    abs(0.05004612-0.04995025)×4.62814253099353e-06×R²
    9.58699999999979e-05×4.62814253099353e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62814253099353e-06×40589641000000     		ar = 372198.190833287m²