Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33288 / 32265
↖ ↑ ↗
← N  2.761991°
E  2.856446°		 ← 610.08 m → N  2.761991°
E  2.861939°		 →
↑
610.09 m
↓
↑
610.09 m
↓
N  2.756505°
E  2.856446°		 ← 610.08 m →
372 202 m²		 N  2.756505°
E  2.861939°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507942199707031 y=0.492332458496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507942199707031 × 216)
    floor (0.507942199707031 × 65536)
    floor (33288.5)     		tx = 33288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492332458496094 × 216)
    floor (0.492332458496094 × 65536)
    floor (32265.5)     		ty = 32265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33288 / 32265 ti = "16/33288/32265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33288/32265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33288 ÷ 216
    33288 ÷ 65536     		x = 0.5079345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32265 ÷ 216
    32265 ÷ 65536     		y = 0.492324829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5079345703125 × 2 - 1) × π
    0.015869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04985438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492324829101562 × 2 - 1) × π
    0.015350341796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0482245210177765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04985438} λ = 0.04985438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0482245210177765))-π/2
    2×atan(1.04940624263399)-π/2
    2×0.809501083406437-π/2
    1.61900216681287-1.57079632675     		φ = 0.04820584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04985438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.856446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04820584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.761991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33288 KachelY 32265 0.04985438 0.04820584 2.856446 2.761991
    Oben rechts KachelX + 1 33289 KachelY 32265 0.04995025 0.04820584 2.861939 2.761991
    Unten links KachelX 33288 KachelY + 1 32266 0.04985438 0.04811008 2.856446 2.756505
    Unten rechts KachelX + 1 33289 KachelY + 1 32266 0.04995025 0.04811008 2.861939 2.756505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04820584-0.04811008) × R
    9.57600000000003e-05 × 6371000     		dl = 610.086960000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04820584-0.04811008) × R
    9.57600000000003e-05 × 6371000     		dr = 610.086960000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04985438-0.04995025) × cos(0.04820584) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998838323480037 × 6371000     		do = 610.078232188941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04985438-0.04995025) × cos(0.04811008) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.99884293330396 × 6371000     		du = 610.081047813016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04820584)-sin(0.04811008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998838323480037-0.99884293330396)×R²
    abs(0.04995025-0.04985438)×4.60982392336273e-06×R²
    9.58700000000048e-05×4.60982392336273e-06×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.60982392336273e-06×40589641000000     		ar = 372201.633210515m²