Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33286 / 32214
↖ ↑ ↗
← N  3.041783°
E  2.845459°		 ← 609.93 m → N  3.041783°
E  2.850952°		 →
↑
609.96 m
↓
↑
609.96 m
↓
N  3.036298°
E  2.845459°		 ← 609.93 m →
372 032 m²		 N  3.036298°
E  2.850952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507911682128906 y=0.491554260253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507911682128906 × 216)
    floor (0.507911682128906 × 65536)
    floor (33286.5)     		tx = 33286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491554260253906 × 216)
    floor (0.491554260253906 × 65536)
    floor (32214.5)     		ty = 32214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33286 / 32214 ti = "16/33286/32214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33286/32214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33286 ÷ 216
    33286 ÷ 65536     		x = 0.507904052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32214 ÷ 216
    32214 ÷ 65536     		y = 0.491546630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507904052734375 × 2 - 1) × π
    0.01580810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04966263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491546630859375 × 2 - 1) × π
    0.01690673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0531140847790222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04966263} λ = 0.04966263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0531140847790222))-π/2
    2×atan(1.05454994635455)-π/2
    2×0.811942727881049-π/2
    1.6238854557621-1.57079632675     		φ = 0.05308913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04966263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.845459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05308913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.041783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33286 KachelY 32214 0.04966263 0.05308913 2.845459 3.041783
    Oben rechts KachelX + 1 33287 KachelY 32214 0.04975850 0.05308913 2.850952 3.041783
    Unten links KachelX 33286 KachelY + 1 32215 0.04966263 0.05299339 2.845459 3.036298
    Unten rechts KachelX + 1 33287 KachelY + 1 32215 0.04975850 0.05299339 2.850952 3.036298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05308913-0.05299339) × R
    9.57399999999969e-05 × 6371000     		dl = 609.959539999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05308913-0.05299339) × R
    9.57399999999969e-05 × 6371000     		dr = 609.959539999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04966263-0.04975850) × cos(0.05308913) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998591103094022 × 6371000     		do = 609.927233000624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04966263-0.04975850) × cos(0.05299339) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998596178883454 × 6371000     		du = 609.930333230733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05308913)-sin(0.05299339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998591103094022-0.998596178883454)×R²
    abs(0.04975850-0.04966263)×5.07578943231835e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.07578943231835e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.07578943231835e-06×40589641000000     		ar = 372031.880266154m²