Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33285 / 32215
↖ ↑ ↗
← N  3.036298°
E  2.839966°		 ← 609.99 m → N  3.036298°
E  2.845459°		 →
↑
609.96 m
↓
↑
609.96 m
↓
N  3.030812°
E  2.839966°		 ← 610 m →
372 073 m²		 N  3.030812°
E  2.845459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507896423339844 y=0.491569519042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507896423339844 × 216)
    floor (0.507896423339844 × 65536)
    floor (33285.5)     		tx = 33285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491569519042969 × 216)
    floor (0.491569519042969 × 65536)
    floor (32215.5)     		ty = 32215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33285 / 32215 ti = "16/33285/32215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33285/32215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33285 ÷ 216
    33285 ÷ 65536     		x = 0.507888793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32215 ÷ 216
    32215 ÷ 65536     		y = 0.491561889648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507888793945312 × 2 - 1) × π
    0.015777587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04956675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491561889648438 × 2 - 1) × π
    0.016876220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0530182109797821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04956675} λ = 0.04956675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0530182109797821))-π/2
    2×atan(1.05444884749115)-π/2
    2×0.811894858397882-π/2
    1.62378971679576-1.57079632675     		φ = 0.05299339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04956675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.839966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05299339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.036298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33285 KachelY 32215 0.04956675 0.05299339 2.839966 3.036298
    Oben rechts KachelX + 1 33286 KachelY 32215 0.04966263 0.05299339 2.845459 3.036298
    Unten links KachelX 33285 KachelY + 1 32216 0.04956675 0.05289765 2.839966 3.030812
    Unten rechts KachelX + 1 33286 KachelY + 1 32216 0.04966263 0.05289765 2.845459 3.030812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05299339-0.05289765) × R
    9.57400000000039e-05 × 6371000     		dl = 609.959540000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05299339-0.05289765) × R
    9.57400000000039e-05 × 6371000     		dr = 609.959540000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04956675-0.04966263) × cos(0.05299339) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998596178883454 × 6371000     		do = 609.9939537933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04956675-0.04966263) × cos(0.05289765) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998601245519606 × 6371000     		du = 609.997048755492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05299339)-sin(0.05289765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998596178883454-0.998601245519606)×R²
    abs(0.04966263-0.04956675)×5.06663615229552e-06×R²
    9.58799999999996e-05×5.06663615229552e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×5.06663615229552e-06×40589641000000     		ar = 372072.57564363m²