Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33281 / 32209
↖ ↑ ↗
← N  3.069210°
E  2.817993°		 ← 609.91 m → N  3.069210°
E  2.823486°		 →
↑
609.96 m
↓
↑
609.96 m
↓
N  3.063725°
E  2.817993°		 ← 609.91 m →
372 022 m²		 N  3.063725°
E  2.823486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507835388183594 y=0.491477966308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507835388183594 × 216)
    floor (0.507835388183594 × 65536)
    floor (33281.5)     		tx = 33281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491477966308594 × 216)
    floor (0.491477966308594 × 65536)
    floor (32209.5)     		ty = 32209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33281 / 32209 ti = "16/33281/32209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33281/32209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33281 ÷ 216
    33281 ÷ 65536     		x = 0.507827758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32209 ÷ 216
    32209 ÷ 65536     		y = 0.491470336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507827758789062 × 2 - 1) × π
    0.015655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.04918326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491470336914062 × 2 - 1) × π
    0.017059326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0535934537752228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04918326} λ = 0.04918326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0535934537752228))-π/2
    2×atan(1.0550555860881)-π/2
    2×0.812182071635128-π/2
    1.62436414327026-1.57079632675     		φ = 0.05356782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04918326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.817993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05356782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.069210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33281 KachelY 32209 0.04918326 0.05356782 2.817993 3.069210
    Oben rechts KachelX + 1 33282 KachelY 32209 0.04927913 0.05356782 2.823486 3.069210
    Unten links KachelX 33281 KachelY + 1 32210 0.04918326 0.05347208 2.817993 3.063725
    Unten rechts KachelX + 1 33282 KachelY + 1 32210 0.04927913 0.05347208 2.823486 3.063725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05356782-0.05347208) × R
    9.57400000000039e-05 × 6371000     		dl = 609.959540000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05356782-0.05347208) × R
    9.57400000000039e-05 × 6371000     		dr = 609.959540000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04918326-0.04927913) × cos(0.05356782) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998565587384714 × 6371000     		do = 609.911648317436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04918326-0.04927913) × cos(0.05347208) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998570708938891 × 6371000     		du = 609.914776500091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05356782)-sin(0.05347208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998565587384714-0.998570708938891)×R²
    abs(0.04927913-0.04918326)×5.12155417653481e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.12155417653481e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.12155417653481e-06×40589641000000     		ar = 372022.382764946m²