Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33276 / 32220
↖ ↑ ↗
← N  3.008870°
E  2.790527°		 ← 609.95 m → N  3.008870°
E  2.796020°		 →
↑
609.96 m
↓
↑
609.96 m
↓
N  3.003385°
E  2.790527°		 ← 609.95 m →
372 043 m²		 N  3.003385°
E  2.796020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507759094238281 y=0.491645812988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507759094238281 × 216)
    floor (0.507759094238281 × 65536)
    floor (33276.5)     		tx = 33276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491645812988281 × 216)
    floor (0.491645812988281 × 65536)
    floor (32220.5)     		ty = 32220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33276 / 32220 ti = "16/33276/32220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33276/32220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33276 ÷ 216
    33276 ÷ 65536     		x = 0.50775146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32220 ÷ 216
    32220 ÷ 65536     		y = 0.49163818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50775146484375 × 2 - 1) × π
    0.0155029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04870389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49163818359375 × 2 - 1) × π
    0.0167236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0525388419835815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04870389} λ = 0.04870389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0525388419835815))-π/2
    2×atan(1.05394349853957)-π/2
    2×0.811655507344355-π/2
    1.62331101468871-1.57079632675     		φ = 0.05251469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04870389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.790527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05251469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.008870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33276 KachelY 32220 0.04870389 0.05251469 2.790527 3.008870
    Oben rechts KachelX + 1 33277 KachelY 32220 0.04879976 0.05251469 2.796020 3.008870
    Unten links KachelX 33276 KachelY + 1 32221 0.04870389 0.05241895 2.790527 3.003385
    Unten rechts KachelX + 1 33277 KachelY + 1 32221 0.04879976 0.05241895 2.796020 3.003385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05251469-0.05241895) × R
    9.57400000000039e-05 × 6371000     		dl = 609.959540000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05251469-0.05241895) × R
    9.57400000000039e-05 × 6371000     		dr = 609.959540000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04870389-0.04879976) × cos(0.05251469) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998621420530489 × 6371000     		do = 609.945750520036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04870389-0.04879976) × cos(0.05241895) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998626441399546 × 6371000     		du = 609.948817205451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05251469)-sin(0.05241895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998621420530489-0.998626441399546)×R²
    abs(0.04879976-0.04870389)×5.02086905762589e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.02086905762589e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.02086905762589e-06×40589641000000     		ar = 372043.164973365m²