Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33274 / 32222
↖ ↑ ↗
← N  2.997899°
E  2.779541°		 ← 610.02 m → N  2.997899°
E  2.785034°		 →
↑
609.96 m
↓
↑
609.96 m
↓
N  2.992413°
E  2.779541°		 ← 610.02 m →
372 086 m²		 N  2.992413°
E  2.785034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507728576660156 y=0.491676330566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507728576660156 × 216)
    floor (0.507728576660156 × 65536)
    floor (33274.5)     		tx = 33274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491676330566406 × 216)
    floor (0.491676330566406 × 65536)
    floor (32222.5)     		ty = 32222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33274 / 32222 ti = "16/33274/32222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33274/32222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33274 ÷ 216
    33274 ÷ 65536     		x = 0.507720947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32222 ÷ 216
    32222 ÷ 65536     		y = 0.491668701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507720947265625 × 2 - 1) × π
    0.01544189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.04851214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491668701171875 × 2 - 1) × π
    0.01666259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0523470943851013
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04851214} λ = 0.04851214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0523470943851013))-π/2
    2×atan(1.0537414267788)-π/2
    2×0.811559765233522-π/2
    1.62311953046704-1.57079632675     		φ = 0.05232320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04851214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.779541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05232320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.997899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33274 KachelY 32222 0.04851214 0.05232320 2.779541 2.997899
    Oben rechts KachelX + 1 33275 KachelY 32222 0.04860802 0.05232320 2.785034 2.997899
    Unten links KachelX 33274 KachelY + 1 32223 0.04851214 0.05222746 2.779541 2.992413
    Unten rechts KachelX + 1 33275 KachelY + 1 32223 0.04860802 0.05222746 2.785034 2.992413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05232320-0.05222746) × R
    9.57399999999969e-05 × 6371000     		dl = 609.959539999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05232320-0.05222746) × R
    9.57399999999969e-05 × 6371000     		dr = 609.959539999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04851214-0.04860802) × cos(0.05232320) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.99863145363804 × 6371000     		do = 610.015501429345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04851214-0.04860802) × cos(0.05222746) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998636456198981 × 6371000     		du = 610.0185572511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05232320)-sin(0.05222746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99863145363804-0.998636456198981)×R²
    abs(0.04860802-0.04851214)×5.00256094082552e-06×R²
    9.58799999999996e-05×5.00256094082552e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×5.00256094082552e-06×40589641000000     		ar = 372085.706892741m²