Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33267 / 32146
↖ ↑ ↗
← N  3.414725°
E  2.741089°		 ← 609.70 m → N  3.414725°
E  2.746582°		 →
↑
609.70 m
↓
↑
609.70 m
↓
N  3.409242°
E  2.741089°		 ← 609.71 m →
371 740 m²		 N  3.409242°
E  2.746582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507621765136719 y=0.490516662597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507621765136719 × 216)
    floor (0.507621765136719 × 65536)
    floor (33267.5)     		tx = 33267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490516662597656 × 216)
    floor (0.490516662597656 × 65536)
    floor (32146.5)     		ty = 32146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33267 / 32146 ti = "16/33267/32146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33267/32146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33267 ÷ 216
    33267 ÷ 65536     		x = 0.507614135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32146 ÷ 216
    32146 ÷ 65536     		y = 0.490509033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507614135742188 × 2 - 1) × π
    0.015228271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04784103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490509033203125 × 2 - 1) × π
    0.01898193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0596335031273499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04784103} λ = 0.04784103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0596335031273499))-π/2
    2×atan(1.06144745807599)-π/2
    2×0.815197258492637-π/2
    1.63039451698527-1.57079632675     		φ = 0.05959819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04784103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.741089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05959819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.414725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33267 KachelY 32146 0.04784103 0.05959819 2.741089 3.414725
    Oben rechts KachelX + 1 33268 KachelY 32146 0.04793690 0.05959819 2.746582 3.414725
    Unten links KachelX 33267 KachelY + 1 32147 0.04784103 0.05950249 2.741089 3.409242
    Unten rechts KachelX + 1 33268 KachelY + 1 32147 0.04793690 0.05950249 2.746582 3.409242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05959819-0.05950249) × R
    9.57000000000041e-05 × 6371000     		dl = 609.704700000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05959819-0.05950249) × R
    9.57000000000041e-05 × 6371000     		dr = 609.704700000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04784103-0.04793690) × cos(0.05959819) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998224553491625 × 6371000     		do = 609.703348986382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04784103-0.04793690) × cos(0.05950249) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998230249091437 × 6371000     		du = 609.70682778909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05959819)-sin(0.05950249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998224553491625-0.998230249091437)×R²
    abs(0.04793690-0.04784103)×5.69559981233869e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.69559981233869e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.69559981233869e-06×40589641000000     		ar = 371740.058287653m²