Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33266 / 31990
↖ ↑ ↗
← N  4.269724°
E  2.735596°		 ← 609.16 m → N  4.269724°
E  2.741089°		 →
↑
609.13 m
↓
↑
609.13 m
↓
N  4.264246°
E  2.735596°		 ← 609.16 m →
371 057 m²		 N  4.264246°
E  2.741089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507606506347656 y=0.488136291503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507606506347656 × 216)
    floor (0.507606506347656 × 65536)
    floor (33266.5)     		tx = 33266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.488136291503906 × 216)
    floor (0.488136291503906 × 65536)
    floor (31990.5)     		ty = 31990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33266 / 31990 ti = "16/33266/31990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33266/31990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33266 ÷ 216
    33266 ÷ 65536     		x = 0.507598876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31990 ÷ 216
    31990 ÷ 65536     		y = 0.488128662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507598876953125 × 2 - 1) × π
    0.01519775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04774515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.488128662109375 × 2 - 1) × π
    0.02374267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0745898158088074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04774515} λ = 0.04774515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0745898158088074))-π/2
    2×atan(1.07744211051119)-π/2
    2×0.822658536748072-π/2
    1.64531707349614-1.57079632675     		φ = 0.07452075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04774515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.735596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.07452075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.269724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33266 KachelY 31990 0.04774515 0.07452075 2.735596 4.269724
    Oben rechts KachelX + 1 33267 KachelY 31990 0.04784103 0.07452075 2.741089 4.269724
    Unten links KachelX 33266 KachelY + 1 31991 0.04774515 0.07442514 2.735596 4.264246
    Unten rechts KachelX + 1 33267 KachelY + 1 31991 0.04784103 0.07442514 2.741089 4.264246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.07452075-0.07442514) × R
    9.5609999999996e-05 × 6371000     		dl = 609.131309999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.07452075-0.07442514) × R
    9.5609999999996e-05 × 6371000     		dr = 609.131309999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04774515-0.04784103) × cos(0.07452075) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.997224613655601 × 6371000     		do = 609.156131143949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04774515-0.04784103) × cos(0.07442514) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.99723172743385 × 6371000     		du = 609.160476605921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.07452075)-sin(0.07442514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997224613655601-0.99723172743385)×R²
    abs(0.04784103-0.04774515)×7.11377824869075e-06×R²
    9.58799999999996e-05×7.11377824869075e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×7.11377824869075e-06×40589641000000     		ar = 371057.395919356m²