Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33265 / 32142
↖ ↑ ↗
← N  3.436658°
E  2.730103°		 ← 609.69 m → N  3.436658°
E  2.735596°		 →
↑
609.70 m
↓
↑
609.70 m
↓
N  3.431175°
E  2.730103°		 ← 609.69 m →
371 732 m²		 N  3.431175°
E  2.735596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507591247558594 y=0.490455627441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507591247558594 × 216)
    floor (0.507591247558594 × 65536)
    floor (33265.5)     		tx = 33265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490455627441406 × 216)
    floor (0.490455627441406 × 65536)
    floor (32142.5)     		ty = 32142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33265 / 32142 ti = "16/33265/32142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33265/32142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33265 ÷ 216
    33265 ÷ 65536     		x = 0.507583618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32142 ÷ 216
    32142 ÷ 65536     		y = 0.490447998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507583618164062 × 2 - 1) × π
    0.015167236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.04764928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490447998046875 × 2 - 1) × π
    0.01910400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0600169983243103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04764928} λ = 0.04764928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0600169983243103))-π/2
    2×atan(1.06185459614075)-π/2
    2×0.815388663462783-π/2
    1.63077732692557-1.57079632675     		φ = 0.05998100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04764928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.730103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05998100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.436658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33265 KachelY 32142 0.04764928 0.05998100 2.730103 3.436658
    Oben rechts KachelX + 1 33266 KachelY 32142 0.04774515 0.05998100 2.735596 3.436658
    Unten links KachelX 33265 KachelY + 1 32143 0.04764928 0.05988530 2.730103 3.431175
    Unten rechts KachelX + 1 33266 KachelY + 1 32143 0.04774515 0.05988530 2.735596 3.431175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05998100-0.05988530) × R
    9.56999999999972e-05 × 6371000     		dl = 609.704699999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05998100-0.05988530) × R
    9.56999999999972e-05 × 6371000     		dr = 609.704699999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04764928-0.04774515) × cos(0.05998100) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998201679071152 × 6371000     		do = 609.689377570111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04764928-0.04774515) × cos(0.05988530) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998207411240524 × 6371000     		du = 609.692878709059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05998100)-sin(0.05988530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998201679071152-0.998207411240524)×R²
    abs(0.04774515-0.04764928)×5.7321693722745e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.7321693722745e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.7321693722745e-06×40589641000000     		ar = 371731.546658697m²