Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33261 / 32148
↖ ↑ ↗
← N  3.403758°
E  2.708130°		 ← 609.77 m → N  3.403758°
E  2.713623°		 →
↑
609.70 m
↓
↑
609.70 m
↓
N  3.398275°
E  2.708130°		 ← 609.78 m →
371 783 m²		 N  3.398275°
E  2.713623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507530212402344 y=0.490547180175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507530212402344 × 216)
    floor (0.507530212402344 × 65536)
    floor (33261.5)     		tx = 33261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490547180175781 × 216)
    floor (0.490547180175781 × 65536)
    floor (32148.5)     		ty = 32148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33261 / 32148 ti = "16/33261/32148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33261/32148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33261 ÷ 216
    33261 ÷ 65536     		x = 0.507522583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32148 ÷ 216
    32148 ÷ 65536     		y = 0.49053955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507522583007812 × 2 - 1) × π
    0.015045166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04726578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49053955078125 × 2 - 1) × π
    0.0189208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0594417555288696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04726578} λ = 0.04726578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0594417555288696))-π/2
    2×atan(1.06124394758694)-π/2
    2×0.815101554366265-π/2
    1.63020310873253-1.57079632675     		φ = 0.05940678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04726578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.708130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05940678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.403758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33261 KachelY 32148 0.04726578 0.05940678 2.708130 3.403758
    Oben rechts KachelX + 1 33262 KachelY 32148 0.04736166 0.05940678 2.713623 3.403758
    Unten links KachelX 33261 KachelY + 1 32149 0.04726578 0.05931108 2.708130 3.398275
    Unten rechts KachelX + 1 33262 KachelY + 1 32149 0.04736166 0.05931108 2.713623 3.398275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05940678-0.05931108) × R
    9.56999999999972e-05 × 6371000     		dl = 609.704699999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05940678-0.05931108) × R
    9.56999999999972e-05 × 6371000     		dr = 609.704699999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04726578-0.04736166) × cos(0.05940678) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998235936142686 × 6371000     		do = 609.773898981943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04726578-0.04736166) × cos(0.05931108) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998241613456928 × 6371000     		du = 609.77736697775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05940678)-sin(0.05931108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998235936142686-0.998241613456928)×R²
    abs(0.04736166-0.04726578)×5.67731424150342e-06×R²
    9.58799999999996e-05×5.67731424150342e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×5.67731424150342e-06×40589641000000     		ar = 371783.069657032m²