Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3326 / 3843
↖ ↑ ↗
← S 82.709820°
E112.324219°		 ← 1 240.14 m → S 82.709820°
E112.412110°		 →
↑
1 239.22 m
↓
↑
1 239.22 m
↓
S 82.720964°
E112.324219°		 ← 1 238.25 m →
1 535 641 m²		 S 82.720964°
E112.412110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8121337890625 y=0.9383544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8121337890625 × 212)
    floor (0.8121337890625 × 4096)
    floor (3326.5)     		tx = 3326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9383544921875 × 212)
    floor (0.9383544921875 × 4096)
    floor (3843.5)     		ty = 3843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3326 / 3843 ti = "12/3326/3843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3326/3843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3326 ÷ 212
    3326 ÷ 4096     		x = 0.81201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3843 ÷ 212
    3843 ÷ 4096     		y = 0.938232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81201171875 × 2 - 1) × π
    0.6240234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.96042745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.938232421875 × 2 - 1) × π
    -0.87646484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.75349551417603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96042745} λ = 1.96042745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75349551417603))-π/2
    2×atan(0.0637047905620514)-π/2
    2×0.0636188220723228-π/2
    0.127237644144646-1.57079632675     		φ = -1.44355868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96042745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.324219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44355868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.709820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3326 KachelY 3843 1.96042745 -1.44355868 112.324219 -82.709820
    Oben rechts KachelX + 1 3327 KachelY 3843 1.96196143 -1.44355868 112.412110 -82.709820
    Unten links KachelX 3326 KachelY + 1 3844 1.96042745 -1.44375319 112.324219 -82.720964
    Unten rechts KachelX + 1 3327 KachelY + 1 3844 1.96196143 -1.44375319 112.412110 -82.720964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44355868--1.44375319) × R
    0.000194510000000037 × 6371000     		dl = 1239.22321000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44355868--1.44375319) × R
    0.000194510000000037 × 6371000     		dr = 1239.22321000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96042745-1.96196143) × cos(-1.44355868) × R
    0.00153397999999982 × 0.126894607335434 × 6371000     		do = 1240.13929456343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96042745-1.96196143) × cos(-1.44375319) × R
    0.00153397999999982 × 0.126701667315055 × 6371000     		du = 1238.25369433352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44355868)-sin(-1.44375319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126894607335434-0.126701667315055)×R²
    abs(1.96196143-1.96042745)×0.000192940020379173×R²
    0.00153397999999982×0.000192940020379173×6371000²
    0.00153397999999982×0.000192940020379173×40589641000000     		ar = 1535641.06251366m²