Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33257 / 22215
↖ ↑ ↗
← N 50.039502°
E  2.686157°		 ← 392.28 m → N 50.039502°
E  2.691650°		 →
↑
392.26 m
↓
↑
392.26 m
↓
N 50.035974°
E  2.686157°		 ← 392.31 m →
153 884 m²		 N 50.035974°
E  2.691650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507469177246094 y=0.338981628417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507469177246094 × 216)
    floor (0.507469177246094 × 65536)
    floor (33257.5)     		tx = 33257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338981628417969 × 216)
    floor (0.338981628417969 × 65536)
    floor (22215.5)     		ty = 22215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33257 / 22215 ti = "16/33257/22215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33257/22215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33257 ÷ 216
    33257 ÷ 65536     		x = 0.507461547851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22215 ÷ 216
    22215 ÷ 65536     		y = 0.338973999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507461547851562 × 2 - 1) × π
    0.014923095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.04688229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338973999023438 × 2 - 1) × π
    0.322052001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01175620338091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04688229} λ = 0.04688229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01175620338091))-π/2
    2×atan(2.75042708534222)-π/2
    2×1.22207519495035-π/2
    2.4441503899007-1.57079632675     		φ = 0.87335406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04688229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.686157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87335406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.039502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33257 KachelY 22215 0.04688229 0.87335406 2.686157 50.039502
    Oben rechts KachelX + 1 33258 KachelY 22215 0.04697816 0.87335406 2.691650 50.039502
    Unten links KachelX 33257 KachelY + 1 22216 0.04688229 0.87329249 2.686157 50.035974
    Unten rechts KachelX + 1 33258 KachelY + 1 22216 0.04697816 0.87329249 2.691650 50.035974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87335406-0.87329249) × R
    6.15700000000663e-05 × 6371000     		dl = 392.262470000422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87335406-0.87329249) × R
    6.15700000000663e-05 × 6371000     		dr = 392.262470000422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04688229-0.04697816) × cos(0.87335406) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.642259319876955 × 6371000     		do = 392.284137749353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04688229-0.04697816) × cos(0.87329249) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.642306511290056 × 6371000     		du = 392.312961687324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87335406)-sin(0.87329249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642259319876955-0.642306511290056)×R²
    abs(0.04697816-0.04688229)×4.71914131011664e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71914131011664e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71914131011664e-05×40589641000000     		ar = 153883.998138596m²