Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33256 / 32153
↖ ↑ ↗
← N  3.376340°
E  2.680664°		 ← 609.79 m → N  3.376340°
E  2.686157°		 →
↑
609.77 m
↓
↑
609.77 m
↓
N  3.370856°
E  2.680664°		 ← 609.79 m →
371 832 m²		 N  3.370856°
E  2.686157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507453918457031 y=0.490623474121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507453918457031 × 216)
    floor (0.507453918457031 × 65536)
    floor (33256.5)     		tx = 33256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490623474121094 × 216)
    floor (0.490623474121094 × 65536)
    floor (32153.5)     		ty = 32153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33256 / 32153 ti = "16/33256/32153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33256/32153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33256 ÷ 216
    33256 ÷ 65536     		x = 0.5074462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32153 ÷ 216
    32153 ÷ 65536     		y = 0.490615844726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5074462890625 × 2 - 1) × π
    0.014892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.04678641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490615844726562 × 2 - 1) × π
    0.018768310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0589623865326691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04678641} λ = 0.04678641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0589623865326691))-π/2
    2×atan(1.06073534205566)-π/2
    2×0.814862289291236-π/2
    1.62972457858247-1.57079632675     		φ = 0.05892825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04678641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.680664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05892825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.376340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33256 KachelY 32153 0.04678641 0.05892825 2.680664 3.376340
    Oben rechts KachelX + 1 33257 KachelY 32153 0.04688229 0.05892825 2.686157 3.376340
    Unten links KachelX 33256 KachelY + 1 32154 0.04678641 0.05883254 2.680664 3.370856
    Unten rechts KachelX + 1 33257 KachelY + 1 32154 0.04688229 0.05883254 2.686157 3.370856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05892825-0.05883254) × R
    9.57099999999989e-05 × 6371000     		dl = 609.768409999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05892825-0.05883254) × R
    9.57099999999989e-05 × 6371000     		dr = 609.768409999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04678641-0.04688229) × cos(0.05892825) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998264233056342 × 6371000     		do = 609.791184193529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04678641-0.04688229) × cos(0.05883254) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998269865243256 × 6371000     		du = 609.794624623241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05892825)-sin(0.05883254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998264233056342-0.998269865243256)×R²
    abs(0.04688229-0.04678641)×5.63218691418399e-06×R²
    9.58799999999996e-05×5.63218691418399e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×5.63218691418399e-06×40589641000000     		ar = 371832.450034236m²