Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33244 / 22294
↖ ↑ ↗
← N 49.759977°
E  2.614746°		 ← 394.56 m → N 49.759977°
E  2.620239°		 →
↑
394.56 m
↓
↑
394.56 m
↓
N 49.756429°
E  2.614746°		 ← 394.59 m →
155 683 m²		 N 49.756429°
E  2.620239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507270812988281 y=0.340187072753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507270812988281 × 216)
    floor (0.507270812988281 × 65536)
    floor (33244.5)     		tx = 33244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340187072753906 × 216)
    floor (0.340187072753906 × 65536)
    floor (22294.5)     		ty = 22294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33244 / 22294 ti = "16/33244/22294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33244/22294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33244 ÷ 216
    33244 ÷ 65536     		x = 0.50726318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22294 ÷ 216
    22294 ÷ 65536     		y = 0.340179443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50726318359375 × 2 - 1) × π
    0.0145263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04563593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340179443359375 × 2 - 1) × π
    0.31964111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00418217324094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04563593} λ = 0.04563593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00418217324094))-π/2
    2×atan(2.72967395931118)-π/2
    2×1.21963588513821-π/2
    2.43927177027643-1.57079632675     		φ = 0.86847544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04563593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.614746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86847544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.759977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33244 KachelY 22294 0.04563593 0.86847544 2.614746 49.759977
    Oben rechts KachelX + 1 33245 KachelY 22294 0.04573180 0.86847544 2.620239 49.759977
    Unten links KachelX 33244 KachelY + 1 22295 0.04563593 0.86841351 2.614746 49.756429
    Unten rechts KachelX + 1 33245 KachelY + 1 22295 0.04573180 0.86841351 2.620239 49.756429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86847544-0.86841351) × R
    6.19299999999878e-05 × 6371000     		dl = 394.556029999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86847544-0.86841351) × R
    6.19299999999878e-05 × 6371000     		dr = 394.556029999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04563593-0.04573180) × cos(0.86847544) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.645991062733224 × 6371000     		do = 394.563440646776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04563593-0.04573180) × cos(0.86841351) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.646038335448541 × 6371000     		du = 394.592314243146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86847544)-sin(0.86841351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645991062733224-0.646038335448541)×R²
    abs(0.04573180-0.04563593)×4.72727153169039e-05×R²
    9.58700000000048e-05×4.72727153169039e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.72727153169039e-05×40589641000000     		ar = 155683.080900427m²