Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3324 / 3852
↖ ↑ ↗
← S 82.809512°
E112.148438°		 ← 1 223.27 m → S 82.809512°
E112.236328°		 →
↑
1 222.34 m
↓
↑
1 222.34 m
↓
S 82.820504°
E112.148438°		 ← 1 221.41 m →
1 494 115 m²		 S 82.820504°
E112.236328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8116455078125 y=0.9405517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8116455078125 × 212)
    floor (0.8116455078125 × 4096)
    floor (3324.5)     		tx = 3324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9405517578125 × 212)
    floor (0.9405517578125 × 4096)
    floor (3852.5)     		ty = 3852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3324 / 3852 ti = "12/3324/3852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3324/3852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3324 ÷ 212
    3324 ÷ 4096     		x = 0.8115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3852 ÷ 212
    3852 ÷ 4096     		y = 0.9404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8115234375 × 2 - 1) × π
    0.623046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95735949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9404296875 × 2 - 1) × π
    -0.880859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.7673013412666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95735949} λ = 1.95735949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7673013412666))-π/2
    2×atan(0.0628313364900361)-π/2
    2×0.0627488504189086-π/2
    0.125497700837817-1.57079632675     		φ = -1.44529863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95735949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.148438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44529863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.809512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3324 KachelY 3852 1.95735949 -1.44529863 112.148438 -82.809512
    Oben rechts KachelX + 1 3325 KachelY 3852 1.95889347 -1.44529863 112.236328 -82.809512
    Unten links KachelX 3324 KachelY + 1 3853 1.95735949 -1.44549049 112.148438 -82.820504
    Unten rechts KachelX + 1 3325 KachelY + 1 3853 1.95889347 -1.44549049 112.236328 -82.820504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44529863--1.44549049) × R
    0.000191860000000155 × 6371000     		dl = 1222.34006000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44529863--1.44549049) × R
    0.000191860000000155 × 6371000     		dr = 1222.34006000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95735949-1.95889347) × cos(-1.44529863) × R
    0.00153398000000005 × 0.125168531522629 × 6371000     		do = 1223.270378809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95735949-1.95889347) × cos(-1.44549049) × R
    0.00153398000000005 × 0.124978178104149 × 6371000     		du = 1221.41005740474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44529863)-sin(-1.44549049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125168531522629-0.124978178104149)×R²
    abs(1.95889347-1.95735949)×0.000190353418479561×R²
    0.00153398000000005×0.000190353418479561×6371000²
    0.00153398000000005×0.000190353418479561×40589641000000     		ar = 1494115.42012729m²