Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3324 / 3851
↖ ↑ ↗
← S 82.798502°
E112.148438°		 ← 1 225.13 m → S 82.798502°
E112.236328°		 →
↑
1 224.25 m
↓
↑
1 224.25 m
↓
S 82.809512°
E112.148438°		 ← 1 223.27 m →
1 498 731 m²		 S 82.809512°
E112.236328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8116455078125 y=0.9403076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8116455078125 × 212)
    floor (0.8116455078125 × 4096)
    floor (3324.5)     		tx = 3324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9403076171875 × 212)
    floor (0.9403076171875 × 4096)
    floor (3851.5)     		ty = 3851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3324 / 3851 ti = "12/3324/3851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3324/3851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3324 ÷ 212
    3324 ÷ 4096     		x = 0.8115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3851 ÷ 212
    3851 ÷ 4096     		y = 0.940185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8115234375 × 2 - 1) × π
    0.623046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95735949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.940185546875 × 2 - 1) × π
    -0.88037109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.76576736047876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95735949} λ = 1.95735949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.76576736047876))-π/2
    2×atan(0.0629277925150167)-π/2
    2×0.0628449265741057-π/2
    0.125689853148211-1.57079632675     		φ = -1.44510647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95735949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.148438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44510647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.798502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3324 KachelY 3851 1.95735949 -1.44510647 112.148438 -82.798502
    Oben rechts KachelX + 1 3325 KachelY 3851 1.95889347 -1.44510647 112.236328 -82.798502
    Unten links KachelX 3324 KachelY + 1 3852 1.95735949 -1.44529863 112.148438 -82.809512
    Unten rechts KachelX + 1 3325 KachelY + 1 3852 1.95889347 -1.44529863 112.236328 -82.809512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44510647--1.44529863) × R
    0.000192159999999886 × 6371000     		dl = 1224.25135999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44510647--1.44529863) × R
    0.000192159999999886 × 6371000     		dr = 1224.25135999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95735949-1.95889347) × cos(-1.44510647) × R
    0.00153398000000005 × 0.125359177967055 × 6371000     		do = 1225.13356395189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95735949-1.95889347) × cos(-1.44529863) × R
    0.00153398000000005 × 0.125168531522629 × 6371000     		du = 1223.270378809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44510647)-sin(-1.44529863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125359177967055-0.125168531522629)×R²
    abs(1.95889347-1.95735949)×0.000190646444425846×R²
    0.00153398000000005×0.000190646444425846×6371000²
    0.00153398000000005×0.000190646444425846×40589641000000     		ar = 1498730.93298951m²