Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33229 / 22225
↖ ↑ ↗
← N 50.004209°
E  2.532349°		 ← 392.61 m → N 50.004209°
E  2.537842°		 →
↑
392.58 m
↓
↑
392.58 m
↓
N 50.000678°
E  2.532349°		 ← 392.64 m →
154 138 m²		 N 50.000678°
E  2.537842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507041931152344 y=0.339134216308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507041931152344 × 216)
    floor (0.507041931152344 × 65536)
    floor (33229.5)     		tx = 33229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339134216308594 × 216)
    floor (0.339134216308594 × 65536)
    floor (22225.5)     		ty = 22225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33229 / 22225 ti = "16/33229/22225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33229/22225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33229 ÷ 216
    33229 ÷ 65536     		x = 0.507034301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22225 ÷ 216
    22225 ÷ 65536     		y = 0.339126586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507034301757812 × 2 - 1) × π
    0.014068603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04419782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339126586914062 × 2 - 1) × π
    0.321746826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0107974653885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04419782} λ = 0.04419782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0107974653885))-π/2
    2×atan(2.74779141006307)-π/2
    2×1.22176720261363-π/2
    2.44353440522726-1.57079632675     		φ = 0.87273808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04419782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.532349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87273808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.004209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33229 KachelY 22225 0.04419782 0.87273808 2.532349 50.004209
    Oben rechts KachelX + 1 33230 KachelY 22225 0.04429370 0.87273808 2.537842 50.004209
    Unten links KachelX 33229 KachelY + 1 22226 0.04419782 0.87267646 2.532349 50.000678
    Unten rechts KachelX + 1 33230 KachelY + 1 22226 0.04429370 0.87267646 2.537842 50.000678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87273808-0.87267646) × R
    6.16199999999845e-05 × 6371000     		dl = 392.581019999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87273808-0.87267646) × R
    6.16199999999845e-05 × 6371000     		dr = 392.581019999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04419782-0.04429370) × cos(0.87273808) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.642731338921816 × 6371000     		do = 392.613389622771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04419782-0.04429370) × cos(0.87267646) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.642778544269419 × 6371000     		du = 392.642225079218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87273808)-sin(0.87267646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642731338921816-0.642778544269419)×R²
    abs(0.04429370-0.04419782)×4.7205347602608e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.7205347602608e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.7205347602608e-05×40589641000000     		ar = 154138.225138885m²