Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33220 / 33477
↖ ↑ ↗
← S  3.891658°
E  2.482910°		 ← 609.38 m → S  3.891658°
E  2.488403°		 →
↑
609.39 m
↓
↑
609.39 m
↓
S  3.897138°
E  2.482910°		 ← 609.38 m →
371 346 m²		 S  3.897138°
E  2.488403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506904602050781 y=0.510826110839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506904602050781 × 216)
    floor (0.506904602050781 × 65536)
    floor (33220.5)     		tx = 33220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510826110839844 × 216)
    floor (0.510826110839844 × 65536)
    floor (33477.5)     		ty = 33477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33220 / 33477 ti = "16/33220/33477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33220/33477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33220 ÷ 216
    33220 ÷ 65536     		x = 0.50689697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33477 ÷ 216
    33477 ÷ 65536     		y = 0.510818481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50689697265625 × 2 - 1) × π
    0.0137939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.04333496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.510818481445312 × 2 - 1) × π
    -0.021636962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0679745236612396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04333496} λ = 0.04333496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0679745236612396))-π/2
    2×atan(0.934284275416719)-π/2
    2×0.751437044600816-π/2
    1.50287408920163-1.57079632675     		φ = -0.06792224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04333496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.482910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06792224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.891658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33220 KachelY 33477 0.04333496 -0.06792224 2.482910 -3.891658
    Oben rechts KachelX + 1 33221 KachelY 33477 0.04343083 -0.06792224 2.488403 -3.891658
    Unten links KachelX 33220 KachelY + 1 33478 0.04333496 -0.06801789 2.482910 -3.897138
    Unten rechts KachelX + 1 33221 KachelY + 1 33478 0.04343083 -0.06801789 2.488403 -3.897138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06792224--0.06801789) × R
    9.56500000000027e-05 × 6371000     		dl = 609.386150000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06792224--0.06801789) × R
    9.56500000000027e-05 × 6371000     		dr = 609.386150000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04333496-0.04343083) × cos(-0.06792224) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.997694171342938 × 6371000     		do = 609.379398056538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04333496-0.04343083) × cos(-0.06801789) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.997687675011021 × 6371000     		du = 609.375430176453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06792224)-sin(-0.06801789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997694171342938-0.997687675011021)×R²
    abs(0.04343083-0.04333496)×6.49633191784904e-06×R²
    9.58699999999979e-05×6.49633191784904e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×6.49633191784904e-06×40589641000000     		ar = 371346.156568511m²