Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33219 / 33474
↖ ↑ ↗
← S  3.875216°
E  2.477417°		 ← 609.45 m → S  3.875216°
E  2.482910°		 →
↑
609.39 m
↓
↑
609.39 m
↓
S  3.880696°
E  2.477417°		 ← 609.45 m →
371 392 m²		 S  3.880696°
E  2.482910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506889343261719 y=0.510780334472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506889343261719 × 216)
    floor (0.506889343261719 × 65536)
    floor (33219.5)     		tx = 33219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510780334472656 × 216)
    floor (0.510780334472656 × 65536)
    floor (33474.5)     		ty = 33474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33219 / 33474 ti = "16/33219/33474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33219/33474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33219 ÷ 216
    33219 ÷ 65536     		x = 0.506881713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33474 ÷ 216
    33474 ÷ 65536     		y = 0.510772705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.506881713867188 × 2 - 1) × π
    0.013763427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04323908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.510772705078125 × 2 - 1) × π
    -0.02154541015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0676869022635193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04323908} λ = 0.04323908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0676869022635193))-π/2
    2×atan(0.934553034214421)-π/2
    2×0.751580525095327-π/2
    1.50316105019065-1.57079632675     		φ = -0.06763528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04323908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.477417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06763528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.875216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33219 KachelY 33474 0.04323908 -0.06763528 2.477417 -3.875216
    Oben rechts KachelX + 1 33220 KachelY 33474 0.04333496 -0.06763528 2.482910 -3.875216
    Unten links KachelX 33219 KachelY + 1 33475 0.04323908 -0.06773093 2.477417 -3.880696
    Unten rechts KachelX + 1 33220 KachelY + 1 33475 0.04333496 -0.06773093 2.482910 -3.880696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06763528--0.06773093) × R
    9.56499999999888e-05 × 6371000     		dl = 609.386149999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06763528--0.06773093) × R
    9.56499999999888e-05 × 6371000     		dr = 609.386149999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04323908-0.04333496) × cos(-0.06763528) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.997713606247332 × 6371000     		do = 609.454832992317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04323908-0.04333496) × cos(-0.06773093) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.997707137300026 × 6371000     		du = 609.450881426282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06763528)-sin(-0.06773093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997713606247332-0.997707137300026)×R²
    abs(0.04333496-0.04323908)×6.46894730571557e-06×R²
    9.58799999999996e-05×6.46894730571557e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×6.46894730571557e-06×40589641000000     		ar = 371392.13054438m²