Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33218 / 33473
↖ ↑ ↗
← S  3.869735°
E  2.471924°		 ← 609.40 m → S  3.869735°
E  2.477417°		 →
↑
609.45 m
↓
↑
609.45 m
↓
S  3.875216°
E  2.471924°		 ← 609.39 m →
371 395 m²		 S  3.875216°
E  2.477417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506874084472656 y=0.510765075683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506874084472656 × 216)
    floor (0.506874084472656 × 65536)
    floor (33218.5)     		tx = 33218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510765075683594 × 216)
    floor (0.510765075683594 × 65536)
    floor (33473.5)     		ty = 33473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33218 / 33473 ti = "16/33218/33473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33218/33473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33218 ÷ 216
    33218 ÷ 65536     		x = 0.506866455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33473 ÷ 216
    33473 ÷ 65536     		y = 0.510757446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.506866455078125 × 2 - 1) × π
    0.01373291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04314321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.510757446289062 × 2 - 1) × π
    -0.021514892578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0675910284642792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04314321} λ = 0.04314321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0675910284642792))-π/2
    2×atan(0.934642637659645)-π/2
    2×0.751628352547206-π/2
    1.50325670509441-1.57079632675     		φ = -0.06753962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04314321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.471924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06753962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.869735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33218 KachelY 33473 0.04314321 -0.06753962 2.471924 -3.869735
    Oben rechts KachelX + 1 33219 KachelY 33473 0.04323908 -0.06753962 2.477417 -3.869735
    Unten links KachelX 33218 KachelY + 1 33474 0.04314321 -0.06763528 2.471924 -3.875216
    Unten rechts KachelX + 1 33219 KachelY + 1 33474 0.04323908 -0.06763528 2.477417 -3.875216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06753962--0.06763528) × R
    9.56600000000113e-05 × 6371000     		dl = 609.449860000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06753962--0.06763528) × R
    9.56600000000113e-05 × 6371000     		dr = 609.449860000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04314321-0.04323908) × cos(-0.06753962) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.997720066741516 × 6371000     		do = 609.395214649289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04314321-0.04323908) × cos(-0.06763528) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.997713606247332 × 6371000     		du = 609.391268658453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06753962)-sin(-0.06763528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997720066741516-0.997713606247332)×R²
    abs(0.04323908-0.04314321)×6.46049418406847e-06×R²
    9.58699999999979e-05×6.46049418406847e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×6.46049418406847e-06×40589641000000     		ar = 371394.626094145m²