Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33214 / 22198
↖ ↑ ↗
← N 50.099441°
E  2.449951°		 ← 391.84 m → N 50.099441°
E  2.455444°		 →
↑
391.82 m
↓
↑
391.82 m
↓
N 50.095917°
E  2.449951°		 ← 391.86 m →
153 533 m²		 N 50.095917°
E  2.455444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506813049316406 y=0.338722229003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506813049316406 × 216)
    floor (0.506813049316406 × 65536)
    floor (33214.5)     		tx = 33214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338722229003906 × 216)
    floor (0.338722229003906 × 65536)
    floor (22198.5)     		ty = 22198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33214 / 22198 ti = "16/33214/22198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33214/22198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33214 ÷ 216
    33214 ÷ 65536     		x = 0.506805419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22198 ÷ 216
    22198 ÷ 65536     		y = 0.338714599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.506805419921875 × 2 - 1) × π
    0.01361083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04275971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338714599609375 × 2 - 1) × π
    0.32257080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01338605796799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04275971} λ = 0.04275971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01338605796799))-π/2
    2×atan(2.75491353668218)-π/2
    2×1.22259826270957-π/2
    2.44519652541915-1.57079632675     		φ = 0.87440020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04275971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.449951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87440020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.099441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33214 KachelY 22198 0.04275971 0.87440020 2.449951 50.099441
    Oben rechts KachelX + 1 33215 KachelY 22198 0.04285559 0.87440020 2.455444 50.099441
    Unten links KachelX 33214 KachelY + 1 22199 0.04275971 0.87433870 2.449951 50.095917
    Unten rechts KachelX + 1 33215 KachelY + 1 22199 0.04285559 0.87433870 2.455444 50.095917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87440020-0.87433870) × R
    6.14999999999366e-05 × 6371000     		dl = 391.816499999596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87440020-0.87433870) × R
    6.14999999999366e-05 × 6371000     		dr = 391.816499999596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04275971-0.04285559) × cos(0.87440020) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.641457115425838 × 6371000     		do = 391.835028314402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04275971-0.04285559) × cos(0.87433870) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.641504294484731 × 6371000     		du = 391.863847712352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87440020)-sin(0.87433870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641457115425838-0.641504294484731)×R²
    abs(0.04285559-0.04275971)×4.71790588927323e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.71790588927323e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.71790588927323e-05×40589641000000     		ar = 153533.075377482m²