Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33207 / 32087
↖ ↑ ↗
← N  3.738190°
E  2.411499°		 ← 609.49 m → N  3.738190°
E  2.416992°		 →
↑
609.51 m
↓
↑
609.51 m
↓
N  3.732708°
E  2.411499°		 ← 609.49 m →
371 493 m²		 N  3.732708°
E  2.416992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506706237792969 y=0.489616394042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506706237792969 × 216)
    floor (0.506706237792969 × 65536)
    floor (33207.5)     		tx = 33207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.489616394042969 × 216)
    floor (0.489616394042969 × 65536)
    floor (32087.5)     		ty = 32087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33207 / 32087 ti = "16/33207/32087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33207/32087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33207 ÷ 216
    33207 ÷ 65536     		x = 0.506698608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32087 ÷ 216
    32087 ÷ 65536     		y = 0.489608764648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.506698608398438 × 2 - 1) × π
    0.013397216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04208860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.489608764648438 × 2 - 1) × π
    0.020782470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0652900572825165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04208860} λ = 0.04208860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0652900572825165))-π/2
    2×atan(1.06746860652693)-π/2
    2×0.818020023566173-π/2
    1.63604004713235-1.57079632675     		φ = 0.06524372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04208860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.411499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.06524372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.738190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33207 KachelY 32087 0.04208860 0.06524372 2.411499 3.738190
    Oben rechts KachelX + 1 33208 KachelY 32087 0.04218447 0.06524372 2.416992 3.738190
    Unten links KachelX 33207 KachelY + 1 32088 0.04208860 0.06514805 2.411499 3.732708
    Unten rechts KachelX + 1 33208 KachelY + 1 32088 0.04218447 0.06514805 2.416992 3.732708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.06524372-0.06514805) × R
    9.5670000000006e-05 × 6371000     		dl = 609.513570000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.06524372-0.06514805) × R
    9.5670000000006e-05 × 6371000     		dr = 609.513570000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04208860-0.04218447) × cos(0.06524372) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.997872383387369 × 6371000     		do = 609.488247793787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04208860-0.04218447) × cos(0.06514805) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.997878616260019 × 6371000     		du = 609.492054756174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.06524372)-sin(0.06514805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997872383387369-0.997878616260019)×R²
    abs(0.04218447-0.04208860)×6.23287265055783e-06×R²
    9.58700000000048e-05×6.23287265055783e-06×6371000²
    9.58700000000048e-05×6.23287265055783e-06×40589641000000     		ar = 371492.518266848m²