Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33205 / 32081
↖ ↑ ↗
← N  3.771078°
E  2.400513°		 ← 609.47 m → N  3.771078°
E  2.406006°		 →
↑
609.51 m
↓
↑
609.51 m
↓
N  3.765597°
E  2.400513°		 ← 609.47 m →
371 479 m²		 N  3.765597°
E  2.406006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506675720214844 y=0.489524841308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506675720214844 × 216)
    floor (0.506675720214844 × 65536)
    floor (33205.5)     		tx = 33205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.489524841308594 × 216)
    floor (0.489524841308594 × 65536)
    floor (32081.5)     		ty = 32081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33205 / 32081 ti = "16/33205/32081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33205/32081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33205 ÷ 216
    33205 ÷ 65536     		x = 0.506668090820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32081 ÷ 216
    32081 ÷ 65536     		y = 0.489517211914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.506668090820312 × 2 - 1) × π
    0.013336181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04189685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.489517211914062 × 2 - 1) × π
    0.020965576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0658653000779572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04189685} λ = 0.04189685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0658653000779572))-π/2
    2×atan(1.06808283680102)-π/2
    2×0.818307027618077-π/2
    1.63661405523615-1.57079632675     		φ = 0.06581773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04189685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.400513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.06581773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.771078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33205 KachelY 32081 0.04189685 0.06581773 2.400513 3.771078
    Oben rechts KachelX + 1 33206 KachelY 32081 0.04199272 0.06581773 2.406006 3.771078
    Unten links KachelX 33205 KachelY + 1 32082 0.04189685 0.06572206 2.400513 3.765597
    Unten rechts KachelX + 1 33206 KachelY + 1 32082 0.04199272 0.06572206 2.406006 3.765597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.06581773-0.06572206) × R
    9.5670000000006e-05 × 6371000     		dl = 609.513570000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.06581773-0.06572206) × R
    9.5670000000006e-05 × 6371000     		dr = 609.513570000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04189685-0.04199272) × cos(0.06581773) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.997834795012387 × 6371000     		do = 609.46528927401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04189685-0.04199272) × cos(0.06572206) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.997841082682877 × 6371000     		du = 609.469129706247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.06581773)-sin(0.06572206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997834795012387-0.997841082682877)×R²
    abs(0.04199272-0.04189685)×6.28767048937995e-06×R²
    9.58699999999979e-05×6.28767048937995e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×6.28767048937995e-06×40589641000000     		ar = 371478.534937636m²