Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33202 / 32083
↖ ↑ ↗
← N  3.760115°
E  2.384033°		 ← 609.47 m → N  3.760115°
E  2.389526°		 →
↑
609.45 m
↓
↑
609.45 m
↓
N  3.754634°
E  2.384033°		 ← 609.48 m →
371 444 m²		 N  3.754634°
E  2.389526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506629943847656 y=0.489555358886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506629943847656 × 216)
    floor (0.506629943847656 × 65536)
    floor (33202.5)     		tx = 33202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.489555358886719 × 216)
    floor (0.489555358886719 × 65536)
    floor (32083.5)     		ty = 32083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33202 / 32083 ti = "16/33202/32083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33202/32083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33202 ÷ 216
    33202 ÷ 65536     		x = 0.506622314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32083 ÷ 216
    32083 ÷ 65536     		y = 0.489547729492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.506622314453125 × 2 - 1) × π
    0.01324462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04160923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.489547729492188 × 2 - 1) × π
    0.020904541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0656735524794769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04160923} λ = 0.04160923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0656735524794769))-π/2
    2×atan(1.06787805411601)-π/2
    2×0.818211360802599-π/2
    1.6364227216052-1.57079632675     		φ = 0.06562639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04160923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.384033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.06562639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.760115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33202 KachelY 32083 0.04160923 0.06562639 2.384033 3.760115
    Oben rechts KachelX + 1 33203 KachelY 32083 0.04170510 0.06562639 2.389526 3.760115
    Unten links KachelX 33202 KachelY + 1 32084 0.04160923 0.06553073 2.384033 3.754634
    Unten rechts KachelX + 1 33203 KachelY + 1 32084 0.04170510 0.06553073 2.389526 3.754634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.06562639-0.06553073) × R
    9.56600000000113e-05 × 6371000     		dl = 609.449860000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.06562639-0.06553073) × R
    9.56600000000113e-05 × 6371000     		dr = 609.449860000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04160923-0.04170510) × cos(0.06562639) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.997847361220377 × 6371000     		do = 609.47296456021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04160923-0.04170510) × cos(0.06553073) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.997853629969993 × 6371000     		du = 609.476793435808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.06562639)-sin(0.06553073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997847361220377-0.997853629969993)×R²
    abs(0.04170510-0.04160923)×6.26874961584534e-06×R²
    9.58700000000048e-05×6.26874961584534e-06×6371000²
    9.58700000000048e-05×6.26874961584534e-06×40589641000000     		ar = 371444.379962142m²