Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33199 / 32090
↖ ↑ ↗
← N  3.721745°
E  2.367554°		 ← 609.50 m → N  3.721745°
E  2.373047°		 →
↑
609.51 m
↓
↑
609.51 m
↓
N  3.716264°
E  2.367554°		 ← 609.50 m →
371 499 m²		 N  3.716264°
E  2.373047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506584167480469 y=0.489662170410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506584167480469 × 216)
    floor (0.506584167480469 × 65536)
    floor (33199.5)     		tx = 33199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.489662170410156 × 216)
    floor (0.489662170410156 × 65536)
    floor (32090.5)     		ty = 32090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33199 / 32090 ti = "16/33199/32090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33199/32090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33199 ÷ 216
    33199 ÷ 65536     		x = 0.506576538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32090 ÷ 216
    32090 ÷ 65536     		y = 0.489654541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.506576538085938 × 2 - 1) × π
    0.013153076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04132161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.489654541015625 × 2 - 1) × π
    0.02069091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0650024358847962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04132161} λ = 0.04132161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0650024358847962))-π/2
    2×atan(1.0671616238638)-π/2
    2×0.817876517497797-π/2
    1.63575303499559-1.57079632675     		φ = 0.06495671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04132161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.367554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.06495671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.721745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33199 KachelY 32090 0.04132161 0.06495671 2.367554 3.721745
    Oben rechts KachelX + 1 33200 KachelY 32090 0.04141748 0.06495671 2.373047 3.721745
    Unten links KachelX 33199 KachelY + 1 32091 0.04132161 0.06486104 2.367554 3.716264
    Unten rechts KachelX + 1 33200 KachelY + 1 32091 0.04141748 0.06486104 2.373047 3.716264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.06495671-0.06486104) × R
    9.5670000000006e-05 × 6371000     		dl = 609.513570000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.06495671-0.06486104) × R
    9.5670000000006e-05 × 6371000     		dr = 609.513570000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04132161-0.04141748) × cos(0.06495671) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.997891054605266 × 6371000     		do = 609.499651945285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04132161-0.04141748) × cos(0.06486104) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.997897260077749 × 6371000     		du = 609.503442171985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.06495671)-sin(0.06486104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997891054605266-0.997897260077749)×R²
    abs(0.04141748-0.04132161)×6.20547248253445e-06×R²
    9.58699999999979e-05×6.20547248253445e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×6.20547248253445e-06×40589641000000     		ar = 371499.464151635m²