Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33198 / 21806
↖ ↑ ↗
← N 51.460852°
E  2.362060°		 ← 380.59 m → N 51.460852°
E  2.367554°		 →
↑
380.60 m
↓
↑
380.60 m
↓
N 51.457430°
E  2.362060°		 ← 380.62 m →
144 860 m²		 N 51.457430°
E  2.367554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506568908691406 y=0.332740783691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506568908691406 × 216)
    floor (0.506568908691406 × 65536)
    floor (33198.5)     		tx = 33198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332740783691406 × 216)
    floor (0.332740783691406 × 65536)
    floor (21806.5)     		ty = 21806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33198 / 21806 ti = "16/33198/21806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33198/21806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33198 ÷ 216
    33198 ÷ 65536     		x = 0.506561279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21806 ÷ 216
    21806 ÷ 65536     		y = 0.332733154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.506561279296875 × 2 - 1) × π
    0.01312255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04122573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332733154296875 × 2 - 1) × π
    0.33453369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05096858727011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04122573} λ = 0.04122573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05096858727011))-π/2
    2×atan(2.86042034346027)-π/2
    2×1.2344788189249-π/2
    2.46895763784981-1.57079632675     		φ = 0.89816131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04122573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.362060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89816131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.460852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33198 KachelY 21806 0.04122573 0.89816131 2.362060 51.460852
    Oben rechts KachelX + 1 33199 KachelY 21806 0.04132161 0.89816131 2.367554 51.460852
    Unten links KachelX 33198 KachelY + 1 21807 0.04122573 0.89810157 2.362060 51.457430
    Unten rechts KachelX + 1 33199 KachelY + 1 21807 0.04132161 0.89810157 2.367554 51.457430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89816131-0.89810157) × R
    5.97399999999748e-05 × 6371000     		dl = 380.60353999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89816131-0.89810157) × R
    5.97399999999748e-05 × 6371000     		dr = 380.60353999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04122573-0.04132161) × cos(0.89816131) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.623049212051311 × 6371000     		do = 380.590533294375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04122573-0.04132161) × cos(0.89810157) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.623095938530294 × 6371000     		du = 380.619076233217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89816131)-sin(0.89810157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623049212051311-0.623095938530294)×R²
    abs(0.04132161-0.04122573)×4.67264789828503e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.67264789828503e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.67264789828503e-05×40589641000000     		ar = 144859.536077221m²