Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3317 / 3853
↖ ↑ ↗
← S 82.820504°
E111.533203°		 ← 1 221.41 m → S 82.820504°
E111.621094°		 →
↑
1 220.43 m
↓
↑
1 220.43 m
↓
S 82.831480°
E111.533203°		 ← 1 219.55 m →
1 489 511 m²		 S 82.831480°
E111.621094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8099365234375 y=0.9407958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8099365234375 × 212)
    floor (0.8099365234375 × 4096)
    floor (3317.5)     		tx = 3317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9407958984375 × 212)
    floor (0.9407958984375 × 4096)
    floor (3853.5)     		ty = 3853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3317 / 3853 ti = "12/3317/3853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3317/3853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3317 ÷ 212
    3317 ÷ 4096     		x = 0.809814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3853 ÷ 212
    3853 ÷ 4096     		y = 0.940673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809814453125 × 2 - 1) × π
    0.61962890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.94662162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.940673828125 × 2 - 1) × π
    -0.88134765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.76883532205444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94662162} λ = 1.94662162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.76883532205444))-π/2
    2×atan(0.0627350283133176)-π/2
    2×0.0626529203724127-π/2
    0.125305840744825-1.57079632675     		φ = -1.44549049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94662162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.533203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44549049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.820504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3317 KachelY 3853 1.94662162 -1.44549049 111.533203 -82.820504
    Oben rechts KachelX + 1 3318 KachelY 3853 1.94815560 -1.44549049 111.621094 -82.820504
    Unten links KachelX 3317 KachelY + 1 3854 1.94662162 -1.44568205 111.533203 -82.831480
    Unten rechts KachelX + 1 3318 KachelY + 1 3854 1.94815560 -1.44568205 111.621094 -82.831480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44549049--1.44568205) × R
    0.00019155999999998 × 6371000     		dl = 1220.42875999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44549049--1.44568205) × R
    0.00019155999999998 × 6371000     		dr = 1220.42875999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94662162-1.94815560) × cos(-1.44549049) × R
    0.00153398000000005 × 0.124978178104149 × 6371000     		do = 1221.41005740474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94662162-1.94815560) × cos(-1.44568205) × R
    0.00153398000000005 × 0.12478811774022 × 6371000     		du = 1219.55260001867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44549049)-sin(-1.44568205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.124978178104149-0.12478811774022)×R²
    abs(1.94815560-1.94662162)×0.000190060363928934×R²
    0.00153398000000005×0.000190060363928934×6371000²
    0.00153398000000005×0.000190060363928934×40589641000000     		ar = 1489510.51915757m²