Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33155 / 33405
↖ ↑ ↗
← S  3.496972°
E  2.125854°		 ← 609.65 m → S  3.496972°
E  2.131347°		 →
↑
609.70 m
↓
↑
609.70 m
↓
S  3.502455°
E  2.125854°		 ← 609.65 m →
371 706 m²		 S  3.502455°
E  2.131347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505912780761719 y=0.509727478027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505912780761719 × 216)
    floor (0.505912780761719 × 65536)
    floor (33155.5)     		tx = 33155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509727478027344 × 216)
    floor (0.509727478027344 × 65536)
    floor (33405.5)     		ty = 33405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33155 / 33405 ti = "16/33155/33405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33155/33405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33155 ÷ 216
    33155 ÷ 65536     		x = 0.505905151367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33405 ÷ 216
    33405 ÷ 65536     		y = 0.509719848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505905151367188 × 2 - 1) × π
    0.011810302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.03710316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509719848632812 × 2 - 1) × π
    -0.019439697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0610716101159515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03710316} λ = 0.03710316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0610716101159515))-π/2
    2×atan(0.940755869726937)-π/2
    2×0.754881322436221-π/2
    1.50976264487244-1.57079632675     		φ = -0.06103368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03710316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.125854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06103368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.496972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33155 KachelY 33405 0.03710316 -0.06103368 2.125854 -3.496972
    Oben rechts KachelX + 1 33156 KachelY 33405 0.03719903 -0.06103368 2.131347 -3.496972
    Unten links KachelX 33155 KachelY + 1 33406 0.03710316 -0.06112938 2.125854 -3.502455
    Unten rechts KachelX + 1 33156 KachelY + 1 33406 0.03719903 -0.06112938 2.131347 -3.502455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06103368--0.06112938) × R
    9.56999999999972e-05 × 6371000     		dl = 609.704699999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06103368--0.06112938) × R
    9.56999999999972e-05 × 6371000     		dr = 609.704699999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03710316-0.03719903) × cos(-0.06103368) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998138023066257 × 6371000     		do = 609.650497260835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03710316-0.03719903) × cos(-0.06112938) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998132181198043 × 6371000     		du = 609.646929119176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06103368)-sin(-0.06112938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998138023066257-0.998132181198043)×R²
    abs(0.03719903-0.03710316)×5.84186821406263e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.84186821406263e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.84186821406263e-06×40589641000000     		ar = 371705.686064559m²