Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33155 / 21623
↖ ↑ ↗
← N 52.082882°
E  2.125854°		 ← 375.34 m → N 52.082882°
E  2.131347°		 →
↑
375.38 m
↓
↑
375.38 m
↓
N 52.079506°
E  2.125854°		 ← 375.37 m →
140 901 m²		 N 52.079506°
E  2.131347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505912780761719 y=0.329948425292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505912780761719 × 216)
    floor (0.505912780761719 × 65536)
    floor (33155.5)     		tx = 33155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329948425292969 × 216)
    floor (0.329948425292969 × 65536)
    floor (21623.5)     		ty = 21623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33155 / 21623 ti = "16/33155/21623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33155/21623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33155 ÷ 216
    33155 ÷ 65536     		x = 0.505905151367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21623 ÷ 216
    21623 ÷ 65536     		y = 0.329940795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505905151367188 × 2 - 1) × π
    0.011810302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.03710316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329940795898438 × 2 - 1) × π
    0.340118408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06851349253105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03710316} λ = 0.03710316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06851349253105))-π/2
    2×atan(2.91104898604354)-π/2
    2×1.23990704901929-π/2
    2.47981409803858-1.57079632675     		φ = 0.90901777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03710316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.125854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90901777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.082882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33155 KachelY 21623 0.03710316 0.90901777 2.125854 52.082882
    Oben rechts KachelX + 1 33156 KachelY 21623 0.03719903 0.90901777 2.131347 52.082882
    Unten links KachelX 33155 KachelY + 1 21624 0.03710316 0.90895885 2.125854 52.079506
    Unten rechts KachelX + 1 33156 KachelY + 1 21624 0.03719903 0.90895885 2.131347 52.079506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90901777-0.90895885) × R
    5.89199999999623e-05 × 6371000     		dl = 375.37931999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90901777-0.90895885) × R
    5.89199999999623e-05 × 6371000     		dr = 375.37931999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03710316-0.03719903) × cos(0.90901777) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.614520927558863 × 6371000     		do = 375.341866962001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03710316-0.03719903) × cos(0.90895885) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.614567408510767 × 6371000     		du = 375.370256958962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90901777)-sin(0.90895885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614520927558863-0.614567408510767)×R²
    abs(0.03719903-0.03710316)×4.6480951904071e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6480951904071e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6480951904071e-05×40589641000000     		ar = 140900.903337386m²