Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33154 / 33406
↖ ↑ ↗
← S  3.502455°
E  2.120362°		 ← 609.65 m → S  3.502455°
E  2.125854°		 →
↑
609.64 m
↓
↑
609.64 m
↓
S  3.507938°
E  2.120362°		 ← 609.64 m →
371 665 m²		 S  3.507938°
E  2.125854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505897521972656 y=0.509742736816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505897521972656 × 216)
    floor (0.505897521972656 × 65536)
    floor (33154.5)     		tx = 33154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509742736816406 × 216)
    floor (0.509742736816406 × 65536)
    floor (33406.5)     		ty = 33406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33154 / 33406 ti = "16/33154/33406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33154/33406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33154 ÷ 216
    33154 ÷ 65536     		x = 0.505889892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33406 ÷ 216
    33406 ÷ 65536     		y = 0.509735107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505889892578125 × 2 - 1) × π
    0.01177978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03700729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509735107421875 × 2 - 1) × π
    -0.01947021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0611674839151917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03700729} λ = 0.03700729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0611674839151917))-π/2
    2×atan(0.940665680211023)-π/2
    2×0.754833474933985-π/2
    1.50966694986797-1.57079632675     		φ = -0.06112938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03700729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.120362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06112938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.502455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33154 KachelY 33406 0.03700729 -0.06112938 2.120362 -3.502455
    Oben rechts KachelX + 1 33155 KachelY 33406 0.03710316 -0.06112938 2.125854 -3.502455
    Unten links KachelX 33154 KachelY + 1 33407 0.03700729 -0.06122507 2.120362 -3.507938
    Unten rechts KachelX + 1 33155 KachelY + 1 33407 0.03710316 -0.06122507 2.125854 -3.507938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06112938--0.06122507) × R
    9.56900000000024e-05 × 6371000     		dl = 609.640990000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06112938--0.06122507) × R
    9.56900000000024e-05 × 6371000     		dr = 609.640990000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03700729-0.03710316) × cos(-0.06112938) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998132181198043 × 6371000     		do = 609.64692911922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03700729-0.03710316) × cos(-0.06122507) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998126330800314 × 6371000     		du = 609.643355767837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06112938)-sin(-0.06122507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998132181198043-0.998126330800314)×R²
    abs(0.03710316-0.03700729)×5.85039772926788e-06×R²
    9.58700000000048e-05×5.85039772926788e-06×6371000²
    9.58700000000048e-05×5.85039772926788e-06×40589641000000     		ar = 371664.668471587m²