Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33148 / 22204
↖ ↑ ↗
← N 50.078294°
E  2.087402°		 ← 392.01 m → N 50.078294°
E  2.092896°		 →
↑
391.94 m
↓
↑
391.94 m
↓
N 50.074770°
E  2.087402°		 ← 392.04 m →
153 651 m²		 N 50.074770°
E  2.092896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505805969238281 y=0.338813781738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505805969238281 × 216)
    floor (0.505805969238281 × 65536)
    floor (33148.5)     		tx = 33148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338813781738281 × 216)
    floor (0.338813781738281 × 65536)
    floor (22204.5)     		ty = 22204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33148 / 22204 ti = "16/33148/22204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33148/22204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33148 ÷ 216
    33148 ÷ 65536     		x = 0.50579833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22204 ÷ 216
    22204 ÷ 65536     		y = 0.33880615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50579833984375 × 2 - 1) × π
    0.0115966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03643204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33880615234375 × 2 - 1) × π
    0.3223876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01281081517255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03643204} λ = 0.03643204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01281081517255))-π/2
    2×atan(2.75332924823709)-π/2
    2×1.22241372520589-π/2
    2.44482745041179-1.57079632675     		φ = 0.87403112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03643204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.087402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87403112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.078294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33148 KachelY 22204 0.03643204 0.87403112 2.087402 50.078294
    Oben rechts KachelX + 1 33149 KachelY 22204 0.03652792 0.87403112 2.092896 50.078294
    Unten links KachelX 33148 KachelY + 1 22205 0.03643204 0.87396960 2.087402 50.074770
    Unten rechts KachelX + 1 33149 KachelY + 1 22205 0.03652792 0.87396960 2.092896 50.074770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87403112-0.87396960) × R
    6.15200000000371e-05 × 6371000     		dl = 391.943920000236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87403112-0.87396960) × R
    6.15200000000371e-05 × 6371000     		dr = 391.943920000236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03643204-0.03652792) × cos(0.87403112) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.641740214734451 × 6371000     		do = 392.007959946056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03643204-0.03652792) × cos(0.87396960) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.641787394567185 × 6371000     		du = 392.036779816707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87403112)-sin(0.87396960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641740214734451-0.641787394567185)×R²
    abs(0.03652792-0.03643204)×4.71798327337236e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.71798327337236e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.71798327337236e-05×40589641000000     		ar = 153650.784427844m²