Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33146 / 33386
↖ ↑ ↗
← S  3.392791°
E  2.076416°		 ← 609.72 m → S  3.392791°
E  2.081909°		 →
↑
609.77 m
↓
↑
609.77 m
↓
S  3.398275°
E  2.076416°		 ← 609.71 m →
371 785 m²		 S  3.398275°
E  2.081909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505775451660156 y=0.509437561035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505775451660156 × 216)
    floor (0.505775451660156 × 65536)
    floor (33146.5)     		tx = 33146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509437561035156 × 216)
    floor (0.509437561035156 × 65536)
    floor (33386.5)     		ty = 33386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33146 / 33386 ti = "16/33146/33386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33146/33386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33146 ÷ 216
    33146 ÷ 65536     		x = 0.505767822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33386 ÷ 216
    33386 ÷ 65536     		y = 0.509429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505767822265625 × 2 - 1) × π
    0.01153564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.03624030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.01885986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0592500079303894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03624030} λ = 0.03624030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0592500079303894))-π/2
    2×atan(0.942471114447779)-π/2
    2×0.755790477644545-π/2
    1.51158095528909-1.57079632675     		φ = -0.05921537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03624030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.076416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05921537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.392791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33146 KachelY 33386 0.03624030 -0.05921537 2.076416 -3.392791
    Oben rechts KachelX + 1 33147 KachelY 33386 0.03633617 -0.05921537 2.081909 -3.392791
    Unten links KachelX 33146 KachelY + 1 33387 0.03624030 -0.05931108 2.076416 -3.398275
    Unten rechts KachelX + 1 33147 KachelY + 1 33387 0.03633617 -0.05931108 2.081909 -3.398275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05921537--0.05931108) × R
    9.57099999999989e-05 × 6371000     		dl = 609.768409999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05921537--0.05931108) × R
    9.57099999999989e-05 × 6371000     		dr = 609.768409999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03624030-0.03633617) × cos(-0.05921537) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998247282220591 × 6371000     		do = 609.717231416062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03624030-0.03633617) × cos(-0.05931108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998241613456928 × 6371000     		du = 609.713769004546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05921537)-sin(-0.05931108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998247282220591-0.998241613456928)×R²
    abs(0.03633617-0.03624030)×5.66876366348001e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.66876366348001e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.66876366348001e-06×40589641000000     		ar = 371785.251399405m²